ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.59 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известна производная функции у = f(x). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x) > если:

а) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2x$

б) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{7}{x^2}$

в) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=5x^4-1$

г) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{9}{2\sqrt{x}}$

а) $f'(x) = 3x^2 + 2x = 3x^{3-1} + 2x^{2-1} + 0 = (x^3)’ + (x^2)’ + (C)’$;
Ответ: $f(x) = x^3 + x^2 + C$.

б) $f'(x) = -\frac{7}{x^2} = 7 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + 0 = 7 \left(\frac{1}{x}\right)’ + (C)’$;
Ответ: $f(x) = \frac{7}{x} + C$.

в) $f'(x) = 5x^4 — 1 = 5x^{5-1} — 1 + 0 = (x^5)’ — (x)’ + (C)’$;
Ответ: $f(x) = x^5 — x + C$.

г) $f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}} = 9 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = 9 (\sqrt{x})’ + (C)’$;
Ответ: $f(x) = 9\sqrt{x} + C$.

Мы восстанавливаем функцию $f(x)$ по её производной $f'(x)$, то есть интегрируем. При этом в ответе обязательно добавляется произвольная постоянная $C$, так как производная любой константы — это ноль.

а) $f'(x) = 3x^2 + 2x$

Шаг 1: Разделим выражение на слагаемые:

$$f'(x) = 3x^2 + 2x$$

Шаг 2: Найдём первообразную от каждого слагаемого по правилу:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

1. $\int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} = x^3$
2. $\int 2x\,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

Шаг 3: Суммируем и добавляем произвольную постоянную $C$:

$$f(x) = x^3 + x^2 + C$$

Ответ: $\boxed{f(x) = x^3 + x^2 + C}$

б) $f'(x) = -\frac{7}{x^2}$

Шаг 1: Преобразуем выражение к степени:

$$f'(x) = -7x^{-2}$$

Шаг 2: Используем правило интегрирования степенной функции:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$$ $$\int -7x^{-2}\,dx = -7 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 7x^{-1} = \frac{7}{x}$$

Шаг 3: Прибавляем постоянную:

$$f(x) = \frac{7}{x} + C$$

Ответ: $\boxed{f(x) = \frac{7}{x} + C}$

в) $f'(x) = 5x^4 — 1$

Шаг 1: Разделим на два слагаемых:

$$f'(x) = 5x^4 — 1$$

Шаг 2: Найдём первообразные:

1. $\int 5x^4\,dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$
2. $\int (-1)\,dx = -x$

Шаг 3: Суммируем:

$$f(x) = x^5 — x + C$$

Ответ: $\boxed{f(x) = x^5 — x + C}$

г) $f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}}$

Шаг 1: Представим $\sqrt{x}$ как степень:

$$\sqrt{x} = x^{1/2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$$

Тогда:

$$f'(x) = \frac{9}{2} \cdot x^{-1/2}$$

Шаг 2: Применим правило:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ $$\int \frac{9}{2} x^{-1/2}\,dx = \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{9}{2} \cdot 2x^{1/2} = 9\sqrt{x}$$

Шаг 3: Прибавим $C$:

$$f(x) = 9\sqrt{x} + C$$

Ответ: $\boxed{f(x) = 9\sqrt{x} + C}$