ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.62 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях $a$ и $b$ функция

$$y = \begin{cases} 2x — 3, & \text{если } x \leqslant 1, \\ x^2 + ax + b, & \text{если } x > 1 \end{cases}$$

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Функция:

$$y = \begin{cases} 2x — 3, & \text{если } x \leq 1 \\ x^2 + ax + b, & \text{если } x > 1 \end{cases}$$

а) Непрерывна на всей числовой прямой:

$$y_1(1) = 2 \cdot 1 — 3 = 2 — 3 = -1;$$ $$y_2(1) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b;$$ $$1 + a + b = -1;$$ $$a + b = -2;$$

б) Дифференцируема на всей числовой прямой:

$$y_1′(x) = (2x — 3)’ = 2;$$ $$y_2′(x) = (x^2 + ax + b)’ = 2x + a;$$ $$y_2′(1) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a;$$ $$2 = 2 + a, \text{ отсюда } a = 0;$$ $$a + b = -2, \text{ отсюда } b = -2 — a = -2;$$

Ответ:
а) $a + b = -2$;
б) $a = 0, b = -2$.

Функция задана так:

$$y(x) = \begin{cases} 2x — 3, & x \leq 1 \\ x^2 + ax + b, & x > 1 \end{cases}$$

а) Условие непрерывности на всей числовой прямой

Для непрерывности в точке разрыва $x = 1$ необходимо, чтобы:

$$\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) \Rightarrow y_1(1) = y_2(1)$$

Шаг 1: Подставим $x = 1$ в левую часть (то есть в первый кусок функции):

$$y_1(1) = 2 \cdot 1 — 3 = 2 — 3 = -1$$

Шаг 2: Подставим $x = 1$ во второй кусок функции:

$$y_2(1) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b$$

Шаг 3: Приравниваем:

$$1 + a + b = -1 \Rightarrow a + b = -2$$

Условие непрерывности:

$$\boxed{a + b = -2}$$

б) Условие дифференцируемости на всей числовой прямой

Для дифференцируемости в точке $x = 1$, необходимо:

1. Чтобы функция была непрерывна (уже выполнено выше).
2. Чтобы производные левого и правого куска совпадали в точке стыка $x = 1$:

$$y_1′(1) = y_2′(1)$$

Шаг 1: Найдём производную левого выражения $y_1(x) = 2x — 3$:

$$y_1′(x) = \frac{d}{dx}(2x — 3) = 2 \Rightarrow y_1′(1) = 2$$

Шаг 2: Найдём производную правого выражения $y_2(x) = x^2 + ax + b$:

$$y_2′(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + ax + b) = 2x + a \Rightarrow y_2′(1) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a$$

Шаг 3: Приравниваем производные:

$$2 = 2 + a \Rightarrow a = 0$$

Шаг 4: Подставим $a = 0$ в ранее найденное уравнение для непрерывности:

$$a + b = -2 \Rightarrow 0 + b = -2 \Rightarrow b = -2$$

Условие дифференцируемости выполнено при:

$$\boxed{a = 0, \quad b = -2}$$

Итоговый ответ:

а) $\boxed{a + b = -2}$

б) $\boxed{a = 0, \quad b = -2}$