ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях $a$ и $b$ функция

$$y = \begin{cases} \frac{x^2 + 3}{4}, & \text{если } x \leq -1, \\ ax^3 + bx, & \text{если } x > -1 \end{cases}$$

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Функция:

$$y = \begin{cases} \frac{x^2 + 3}{4}, & \text{если } x \leq -1 \\ ax^3 + bx, & \text{если } x > -1 \end{cases}$$

а) Непрерывна на всей числовой прямой:

$$y_1(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$y_2(-1) = a(-1)^3 + b \cdot (-1) = -a — b;$$ $$-a — b = 1;$$ $$a + b = -1;$$ $$b = -1 — a;$$

б) Дифференцируема на всей числовой прямой:

$$y_1′(-1) = \frac{1}{4}(x^2)’ + \left(\frac{3}{4}\right)’ = \frac{2}{4}x + 0 = \frac{1}{2}x = -\frac{1}{2};$$ $$y_2′(-1) = a(x^3)’ + (bx)’ = 3ax^2 + b = 3a(-1)^2 + b = 3a + b;$$ $$3a + b = -\frac{1}{2};$$ $$3a — 1 — a = -\frac{1}{2};$$ $$2a = -\frac{1}{2} + 1;$$ $$2a = \frac{1}{2}, \text{ отсюда } a = \frac{1}{4};$$ $$b = -1 — \frac{1}{4} = -\frac{5}{4};$$

Ответ:
а) $a + b = -1$;
б) $a = \frac{1}{4}, \; b = -\frac{5}{4}$.

Функция задана по частям:

$$y(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 3}{4}, & x \leq -1 \\ ax^3 + bx, & x > -1 \end{cases}$$

Найти такие значения $a$ и $b$, при которых функция:

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой.

а) Проверим условие непрерывности

Функция непрерывна на всей числовой прямой, если в точке перехода $x = -1$ значения с обеих сторон совпадают:

$$\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) \Rightarrow y_1(-1) = y_2(-1)$$

1. Вычислим значение левой части (при $x = -1$)

Формула: $y_1(x) = \dfrac{x^2 + 3}{4}$

$$y_1(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

2. Вычислим значение правой части (формально при $x \to -1^+$)

Формула: $y_2(x) = ax^3 + bx$

Подставляем $x = -1$:

$$y_2(-1) = a(-1)^3 + b(-1) = -a — b$$

3. Приравниваем для непрерывности:

$$-a — b = 1 \Rightarrow a + b = -1$$

Запомним это условие (оно нам нужно будет и в пункте б):

$$\boxed{a + b = -1}$$

б) Проверим условие дифференцируемости

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке $x = -1$, необходимо:

1. Чтобы она была непрерывна в этой точке (уже проверено выше);
2. Чтобы производные с обеих сторон совпадали:

$$y_1′(-1) = y_2′(-1)$$

1. Найдём производную левой части

Функция:

$$y_1(x) = \frac{x^2 + 3}{4} = \frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}$$

Производная:

$$y_1′(x) = \frac{1}{4} \cdot 2x + 0 = \frac{1}{2}x$$

Подставим $x = -1$:

$$y_1′(-1) = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}$$

2. Найдём производную правой части

Функция: $y_2(x) = ax^3 + bx$

Производная:

$$y_2′(x) = 3a x^2 + b$$

Подставим $x = -1$:

$$y_2′(-1) = 3a(-1)^2 + b = 3a + b$$

3. Приравниваем производные:

$$y_2′(-1) = y_1′(-1) \Rightarrow 3a + b = -\frac{1}{2}$$

Теперь у нас есть система двух уравнений:

$$\begin{cases} a + b = -1 \quad \text{(из непрерывности)} \\ 3a + b = -\frac{1}{2} \quad \text{(из дифференцируемости)} \end{cases}$$

4. Решим систему уравнений:

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(3a + b) — (a + b) = -\frac{1}{2} — (-1) \Rightarrow 2a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{4}$$

Теперь найдём $b$:

$$a + b = -1 \Rightarrow \frac{1}{4} + b = -1 \Rightarrow b = -1 — \frac{1}{4} = -\frac{5}{4}$$

Ответ:

а) $\boxed{a + b = -1}$ — условие непрерывности

б) $\boxed{a = \frac{1}{4}, \quad b = -\frac{5}{4}}$ — условие дифференцируемости