ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.65 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$(0), если:

а) $f(x) = 2x^3 — x^2$;

б) $f(x) = x + \cos x$;

в) $f(x) = 4 \sin x — \cos x$;

г) $f(x) = \sin x + \cos x$

а) $f(x) = 2x^3 — x^2$;
$f'(x) = 2(x^3)’ — (x^2)’ = 2 \cdot 3x^2 — 2x = 6x^2 — 2x$;
$f»(x) = 6(x^2)’ — (2x)’ = 6 \cdot 2x — 2 = 12x — 2$;
$f»'(x) = (12x)’ — (2)’ = 12 — 0 = 12$;
$f»'(0) = 12$;

б) $f(x) = x + \cos x$;
$f'(x) = (x’) + (\cos x)’ = 1 — \sin x$;
$f»(x) = (1′) — (\sin x)’ = 0 — \cos x = -\cos x$;
$f»'(x) = -(\cos x)’ = -(-\sin x) = \sin x$;
$f»'(0) = \sin 0 = 0$;

в) $f(x) = 4 \sin x — \cos x$;
$f'(x) = 4(\sin x)’ — (\cos x)’ = 4 \cos x + \sin x$;
$f»(x) = 4(\cos x)’ + (\sin x)’ = -4 \sin x + \cos x$;
$f»'(x) = -4(\sin x)’ + (\cos x)’ = -4 \cos x — \sin x$;
$f»'(0) = -4 \cos 0 — \sin 0 = -4 \cdot 1 — 0 = -4$;

г) $f(x) = \sin x + \cos x$;
$f'(x) = (\sin x)’ + (\cos x)’ = \cos x — \sin x$;
$f»(x) = (\cos x)’ — (\sin x)’ = -\sin x — \cos x$;
$f»'(x) = -(\sin x)’ — (\cos x)’ = -\cos x + \sin x$;
$f»'(0) = -\cos 0 + \sin 0 = -1 + 0 = -1$

а) $f(x) = 2x^3 — x^2$

Шаг 1: Первая производная $f'(x)$

Разделим на слагаемые и применим правило производной от степени:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) — \frac{d}{dx}(x^2) = 2 \cdot 3x^2 — 2x = 6x^2 — 2x$$

Шаг 2: Вторая производная $f»(x)$

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(6x^2) — \frac{d}{dx}(2x) = 6 \cdot 2x — 2 = 12x — 2$$

Шаг 3: Третья производная $f»'(x)$

$$f»'(x) = \frac{d}{dx}(12x) — \frac{d}{dx}(2) = 12 — 0 = 12$$

Шаг 4: Значение при $x = 0$

$$f»'(0) = 12$$

Ответ: $\boxed{f»'(0) = 12}$

б) $f(x) = x + \cos x$

Шаг 1: Первая производная $f'(x)$

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\cos x) = 1 — \sin x$$

Шаг 2: Вторая производная $f»(x)$

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(1 — \sin x) = 0 — \cos x = -\cos x$$

Шаг 3: Третья производная $f»'(x)$

$$f»'(x) = \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$$

Шаг 4: Значение при $x = 0$

$$f»'(0) = \sin 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{f»'(0) = 0}$

в) $f(x) = 4 \sin x — \cos x$

Шаг 1: Первая производная $f'(x)$

$$f'(x) = 4 \cdot \cos x + \sin x$$

Шаг 2: Вторая производная $f»(x)$

$$f»(x) = \frac{d}{dx}(4 \cos x + \sin x) = -4 \sin x + \cos x$$

Шаг 3: Третья производная $f»'(x)$

$$f»'(x) = \frac{d}{dx}(-4 \sin x + \cos x) = -4 \cos x — \sin x$$

Шаг 4: Значение при $x = 0$

$$f»'(0) = -4 \cdot \cos 0 — \sin 0 = -4 \cdot 1 — 0 = -4$$

Ответ: $\boxed{f»'(0) = -4}$

г) $f(x) = \sin x + \cos x$

Шаг 1: Первая производная $f'(x)$

$$f'(x) = \cos x — \sin x$$

Шаг 2: Вторая производная $f»(x)$

$$f»(x) = -\sin x — \cos x$$

Шаг 3: Третья производная $f»'(x)$

$$f»'(x) = -\cos x + \sin x$$

Шаг 4: Значение при $x = 0$

$$f»'(0) = -\cos 0 + \sin 0 = -1 + 0 = -1$$

Ответ: $\boxed{f»'(0) = -1}$

Общие ответы:

а) $f»'(0) = \boxed{12}$
б) $f»'(0) = \boxed{0}$
в) $f»'(0) = \boxed{-4}$
г) $f»'(0) = \boxed{-1}$