ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.66 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Тело движется по прямой согласно закону $x(t) = \frac{t^4}{4} — \frac{t^3}{3} — 6t^2 + 2t + 1$ (где $t$ — время (в секундах), $x(t)$ — координата (в метрах)). Найдите:

а) ускорение движения в момент времени $t = 3 \, \text{с}$;

б) силу, действующую на тело массой $1 \, \text{г}$ в момент времени $t = 3 \, \text{с}$.

Уравнение движения: $x(t) = \frac{t^4}{4} — \frac{t^3}{3} — 6t^2 + 2t + 1$;

а) Ускорение движения тела в момент времени $t = 3$ с:

$v(t) = x'(t) = \frac{1}{4}(t^4)’ — \frac{1}{3}(t^3)’ — 6(t^2)’ + (2t + 1)’$;

$$v(t) = \frac{1}{4} \cdot 4t^3 — \frac{1}{3} \cdot 3t^2 — 6 \cdot 2t + 2 = t^3 — t^2 — 12t + 2;$$

$a(t) = x»(t) = (t^3)’ — (t^2)’ — (12t + 2)’ = 3t^2 — 2t — 12$;

$$a(3) = 3 \cdot 3^2 — 2 \cdot 3 — 12 = 3 \cdot 9 — 6 — 12 = 27 — 18 = 9 \, (\text{м}/\text{с}^2);$$

б) Сила, действующая на тело массой $1 \, \text{г}$ в момент времени $t = 3$ с:

$m = \frac{1}{1000} \, \text{кг} = 0,001 \, \text{кг}$;

$F = ma = 0,001 \cdot 9 = 0,009 \, \text{Н} = 9 \, \text{мН}$;

Ответ: а) $9 \, \text{м}/\text{с}^2$; б) $9 \, \text{мН}$.

Условие задачи

Тело движется по прямой согласно уравнению движения:

$$x(t) = \frac{t^4}{4} — \frac{t^3}{3} — 6t^2 + 2t + 1,$$

где:

• $x(t)$ — координата тела в метрах в момент времени $t$,
• $t$ — время в секундах.

Найти:

а) ускорение тела в момент времени $t = 3 \, \text{с}$;

б) силу, действующую на тело массой $1 \, \text{г}$, в момент времени $t = 3 \, \text{с}$.

Решение:

а) Найдём ускорение $a(t)$ в момент времени $t = 3 \, \text{с}$

Чтобы найти ускорение тела, нужно:

1. Найти первую производную функции $x(t)$ — это будет скорость $v(t)$,
2. Найти вторую производную — это и есть ускорение $a(t)$,
3. Подставить $t = 3$ в $a(t)$ и вычислить.

Шаг 1. Найдём первую производную $x'(t) = v(t)$

Исходная функция координаты:

$$x(t) = \frac{t^4}{4} — \frac{t^3}{3} — 6t^2 + 2t + 1$$

Дифференцируем каждый член отдельно:

• $\left( \frac{t^4}{4} \right)’ = \frac{1}{4} \cdot 4t^{3} = t^3$
• $\left( \frac{t^3}{3} \right)’ = \frac{1}{3} \cdot 3t^{2} = t^2$
• $(6t^2)’ = 6 \cdot 2t = 12t$
• $(2t)’ = 2$
• $(1)’ = 0$

Теперь собираем производную:

$$v(t) = x'(t) = t^3 — t^2 — 12t + 2$$

Шаг 2. Найдём вторую производную $x»(t) = v'(t) = a(t)$

Скорость:

$$v(t) = t^3 — t^2 — 12t + 2$$

Теперь дифференцируем:

• $(t^3)’ = 3t^2$
• $(t^2)’ = 2t$
• $(12t)’ = 12$
• $(2)’ = 0$

Следовательно:

$$a(t) = x»(t) = 3t^2 — 2t — 12$$

Шаг 3. Подставим $t = 3$ в выражение для $a(t)$

$$a(3) = 3 \cdot 3^2 — 2 \cdot 3 — 12$$

Вычислим поэтапно:

• $3^2 = 9$
• $3 \cdot 9 = 27$
• $2 \cdot 3 = 6$

$$a(3) = 27 — 6 — 12 = 9$$

Ответ:

$$\boxed{a(3) = 9 \, \text{м}/\text{с}^2}$$

б) Найдём силу, действующую на тело массой $1 \, \text{г}$ при $t = 3 \, \text{с}$

Шаг 1. Переведём массу в килограммы

Масса дана:

$$m = 1 \, \text{г} = \frac{1}{1000} \, \text{кг} = 0{,}001 \, \text{кг}$$

Шаг 2. Используем второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона:

$$F = m \cdot a$$

Подставляем:

$$F = 0{,}001 \cdot 9 = 0{,}009 \, \text{Н}$$

Переведём в миллиньютоны:

$$0{,}009 \, \text{Н} = 9 \, \text{мН}$$

Окончательный ответ:

а) Ускорение: $\boxed{9 \, \text{м}/\text{с}^2}$

б) Сила: $\boxed{9 \, \text{мН}}$