ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.68 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что функция $y = x \sin x$ удовлетворяет соотношению $y» + y = 2 \cos x$;

б) Докажите, что при любых значениях $a$ и $b$ функция $y = a \sin x + b \cos x$ удовлетворяет соотношению $y» + y = 0$.

а) $y = x \sin x$;

$y’ = (x)’ \sin x + x (\sin x)’ = \sin x + x \cos x$;

$y» = (\sin x)’ + (x’) \cos x + x (\cos x)’$;

$y» = \cos x + \cos x — x \sin x = 2 \cos x — x \sin x$;

Соотношение:

$y» + y = 2 \cos x$;

$2 \cos x — x \sin x + x \sin x = 2 \cos x$;

Тождество доказано.

б) $y = a \sin x + b \cos x$;

$y’ = a (\sin x)’ + b (\cos x)’ = a \cos x — b \sin x$;

$y» = a (\cos x)’ — b (\sin x)’ = -a \sin x — b \cos x$;

Соотношение:

$y» + y = 0$;

$-a \sin x — b \cos x + a \sin x + b \cos x = 0$;

Тождество доказано.

а) $y = x \sin x$

Докажите, что функция удовлетворяет соотношению:

$$y» + y = 2 \cos x$$

Шаг 1: Задана функция

$$y = x \sin x$$

Шаг 2: Найдём первую производную $y’$
Используем правило произведения:

$$(u \cdot v)’ = u’v + uv’$$

Положим:

• $u = x$, тогда $u’ = 1$
• $v = \sin x$, тогда $v’ = \cos x$

$$y’ = (x)’ \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)’ = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x$$ $$y’ = \sin x + x \cos x$$

Шаг 3: Найдём вторую производную $y»$
Опять используем правило производной суммы и произведения:

Найдём производную от $y’ = \sin x + x \cos x$

$$y» = (\sin x)’ + (x \cos x)’$$

Первая часть:

$$(\sin x)’ = \cos x$$

Вторая часть:
Используем правило произведения для $x \cos x$, положим:

• $u = x$, $u’ = 1$
• $v = \cos x$, $v’ = -\sin x$

$$(x \cos x)’ = x’ \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)’ = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x — x \sin x$$

Итак:

$$y» = \cos x + (\cos x — x \sin x) = \cos x + \cos x — x \sin x = 2 \cos x — x \sin x$$

Шаг 4: Подставим $y»$ и $y$ в выражение $y» + y$

$$y» + y = (2 \cos x — x \sin x) + x \sin x$$ $$= 2 \cos x — x \sin x + x \sin x$$ $$= 2 \cos x$$

Ответ:

$$y» + y = 2 \cos x \quad \text{– тождество доказано}.$$

б) $y = a \sin x + b \cos x$

Докажите, что функция удовлетворяет соотношению:

$$y» + y = 0 \quad \text{при любых } a, b$$

Шаг 1: Задана функция

$$y = a \sin x + b \cos x$$

Шаг 2: Найдём первую производную $y’$

$$y’ = a (\sin x)’ + b (\cos x)’ = a \cos x — b \sin x$$

Шаг 3: Найдём вторую производную $y»$

$$y» = a (\cos x)’ — b (\sin x)’ = -a \sin x — b \cos x$$

Шаг 4: Подставим $y»$ и $y$ в выражение $y» + y$

$$y» + y = (-a \sin x — b \cos x) + (a \sin x + b \cos x)$$ $$= -a \sin x + a \sin x — b \cos x + b \cos x$$ $$= 0$$

Ответ:

$$y» + y = 0 \quad \text{– тождество доказано для любых } a \text{ и } b.$$