ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = 12x + \sqrt{x}$;

б) $y = -2x^2 — \frac{1}{x}$;

в) $y = \sqrt{x} — 5x^2$;

${\mathrm{}}^{}$г) $y = 10x^2 + \frac{1}{x}$

а) $y = 12x + \sqrt{x}$;
$y’ = (12x)’ + (\sqrt{x})’ = 12 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

б) $y = -2x^2 — \frac{1}{x}$;
$y’ = -2(x^2)’ — \left(\frac{1}{x}\right)’ = -2 \cdot 2x — \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -4x + \frac{1}{x^2}$

в) $y = \sqrt{x} — 5x^2$;
$y’ = (\sqrt{x})’ — 5(x^2)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 5 \cdot 2x = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 10x$;

г) $y = 10x^2 + \frac{1}{x}$;
$y’ = 10(x^2)’ + \left(\frac{1}{x}\right)’ = 10 \cdot 2x — \frac{1}{x^2} = 20x — \frac{1}{x^2}$

Напомним правила производных:

• $\frac{d}{dx}(ax^n) = a \cdot n x^{n-1}$
• $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, так как $\sqrt{x} = x^{1/2}$
• $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$, так как $\frac{1}{x} = x^{-1}$
• Производная суммы и разности:
  $(f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)$

а) $y = 12x + \sqrt{x}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = 12x + \sqrt{x}$$

Шаг 2. Найдём производную каждого слагаемого:

• $(12x)’ = 12$
• $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Шаг 3. Складываем:

$$y’ = 12 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y’ = 12 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

б) $y = -2x^2 — \frac{1}{x}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = -2x^2 — \frac{1}{x}$$

Шаг 2. Найдём производную каждого слагаемого:

• $(-2x^2)’ = -2 \cdot (x^2)’ = -2 \cdot 2x = -4x$
• $\left(\frac{1}{x}\right)’ = -\frac{1}{x^2}$, поэтому:

$$-\left(\frac{1}{x}\right)’ = -(-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}$$

Шаг 3. Складываем:

$$y’ = -4x + \frac{1}{x^2}$$

Ответ:

$$y’ = -4x + \frac{1}{x^2}$$

в) $y = \sqrt{x} — 5x^2$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \sqrt{x} — 5x^2$$

Шаг 2. Найдём производную:

• $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(5x^2)’ = 5 \cdot 2x = 10x$

Шаг 3. Подставим:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 10x$$

Ответ:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 10x$$

г) $y = 10x^2 + \frac{1}{x}$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = 10x^2 + \frac{1}{x}$$

Шаг 2. Найдём производную:

• $(10x^2)’ = 10 \cdot 2x = 20x$
• $\left(\frac{1}{x}\right)’ = -\frac{1}{x^2}$

Шаг 3. Складываем:

$$y’ = 20x — \frac{1}{x^2}$$

Ответ:

$$y’ = 20x — \frac{1}{x^2}$$