ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.70 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = 4x^2 — |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $60^\circ$?

б) При каких значениях параметра $a$ касательные к графику функции $y = x^2 + |a|x$, проведённые в точках его пересечения с осью $x$, образуют между собой угол $45^\circ$?

В обоих случаях дано уравнение параболы, значит касательные, проведённые к точкам с равными абсциссами, образуют одинаковый острый угол с осью $x$, отсюда следует, что если угол между касательными равен $\varphi$, то касательные образуют с положительным направлением оси $x$ углы:

$$\beta = \frac{180^\circ — \varphi}{2} = 90^\circ — \frac{\varphi}{2}$$

и

$$\gamma = 180^\circ — \left( 90^\circ — \frac{\varphi}{2} \right) = 90^\circ + \frac{\varphi}{2};$$

(один из углов является смежным с углом треугольника).

а) $y = 4x^2 — |a|x$ и $\varphi = 60^\circ$;

Абсциссы точек пересечения с осью $x$:

$$4x^2 — |a|x = 0;$$ $$x(4x — |a|) = 0;$$ $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{|a|}{4};$$

Производная от функции:

$$y’ = (4x^2)’ — (|a| \cdot x)’ = 4 \cdot 2x — |a| = 8x — |a|;$$ $$y'(0) = 8 \cdot 0 — |a| = -|a|;$$

Если угол между касательными острый:

$$\beta = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 150^\circ;$$ $$-|a| = \tg 120^\circ;$$ $$-|a| = -\sqrt{3}, \quad \text{отсюда } a = \pm \sqrt{3};$$

Если угол между касательными тупой:

$$\gamma = 90^\circ + \frac{120^\circ}{2} = 150^\circ;$$ $$-|a| = \tg 150^\circ;$$ $$-|a| = -\frac{\sqrt{3}}{3};$$ $$|a| = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \text{отсюда } a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3};$$

Ответ: $\pm \sqrt{3}$ или $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) $y = x^2 + |a|x$ и $\varphi = 45^\circ$;

Абсциссы точек пересечения с осью $x$:

$$x^2 + |a|x = 0;$$ $$x(x + |a|) = 0;$$ $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -|a|;$$

Производная от функции:

$$y’ = (x^2)’ + (|a| \cdot x)’ = 2x + |a|;$$ $$y'(0) = 2 \cdot 0 + |a| = |a|;$$

Если угол между касательными острый:

$$\beta = 90^\circ — \frac{45^\circ}{2} = 67.5^\circ;$$ $$\tg 67.5^\circ = \frac{\sin 135^\circ}{1 + \cos 135^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{1 — \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} — 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 — 1} = \sqrt{2} + 1;$$ $$|a| = \tg 67.5^\circ;$$ $$|a| = \sqrt{2} + 1, \quad \text{отсюда } a = \pm (\sqrt{2} + 1);$$ $$a = \pm \sqrt{2} \pm 1;$$

Если угол между касательными тупой:

$$\gamma = 90^\circ — \frac{135^\circ}{2} = 22.5^\circ;$$ $$\tg 157.5^\circ = \frac{\sin 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} — 1}{2 — 1} = \sqrt{2} — 1;$$ $$|a| = \tg 22.5^\circ;$$ $$|a| = \sqrt{2} — 1, \quad \text{отсюда } a = \pm (\sqrt{2} — 1);$$

Ответ: $\pm (\sqrt{2} + 1)$ или $\pm (\sqrt{2} — 1)$.

Если даны две точки параболы с абсциссами $x_1 = -x$ и $x_2 = x$, то касательные в этих точках будут симметричны относительно оси $x$, и угол между ними $\varphi$ – это угол между двумя прямыми, у которых известны наклоны (тангенсы углов наклона).

Для двух прямых с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$, угол $\varphi$ между ними вычисляется по формуле:

$$\tg \varphi = \left| \frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 k_2} \right|$$

Однако, поскольку в задаче известно значение $\varphi$, а также одна из касательных проводится в точке с абсциссой $x = 0$, то мы работаем напрямую с производной в этой точке и углами между касательной и осью $x$.

а) Уравнение параболы:

$$y = 4x^2 — |a|x, \quad \varphi = 60^\circ$$

Шаг 1. Найдём точки пересечения с осью $x$

Для этого приравниваем функцию к нулю:

$$4x^2 — |a|x = 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(4x — |a|) = 0$$

Отсюда:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{|a|}{4}$$

Эти две точки симметричны относительно вершины параболы (она смещена), но всё равно мы рассматриваем их для нахождения производных.

Шаг 2. Найдём производную функции $y(x)$

Дифференцируем по $x$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(4x^2 — |a|x) = 8x — |a|$$

Это выражение даёт угловой коэффициент касательной в любой точке $x$.

Шаг 3. Найдём производную в точке $x = 0$

Подставляем:

$$y'(0) = 8 \cdot 0 — |a| = -|a|$$

Значит, наклон касательной в точке $x = 0$ равен $-|a|$

Шаг 4. Переходим к углам между касательными

Поскольку угол между касательными $\varphi = 60^\circ$, каждая из касательных образует с осью $x$ угол:

$$\beta = 90^\circ — \frac{\varphi}{2} = 90^\circ — 30^\circ = 60^\circ$$

или

$$\gamma = 90^\circ + \frac{\varphi}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$$

Разберём оба случая – острый и тупой угол между касательными.

Случай 1: острый угол между касательными

Допустим, касательная в точке $x = 0$ образует угол $\gamma = 120^\circ$ с положительным направлением оси $x$. Тогда угловой коэффициент касательной:

$$k = \tg 120^\circ = \tg (180^\circ — 60^\circ) = -\tg 60^\circ = -\sqrt{3}$$

Но мы знаем, что производная в этой точке равна $-|a|$. Значит:

$$-|a| = -\sqrt{3} \Rightarrow |a| = \sqrt{3}$$

Итог:

$$a = \pm \sqrt{3}$$

Случай 2: тупой угол между касательными

Теперь пусть угол между касательными $\varphi = 120^\circ$, тогда:

$$\gamma = 90^\circ + \frac{120^\circ}{2} = 150^\circ$$

Соответствующий угловой коэффициент:

$$k = \tg 150^\circ = \tg (180^\circ — 30^\circ) = -\tg 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Снова:

$$-|a| = -\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow |a| = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ (а):

$$a = \pm \sqrt{3} \quad \text{или} \quad \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$

б) Уравнение параболы:

$$y = x^2 + |a|x, \quad \varphi = 45^\circ$$

Шаг 1. Найдём точки пересечения с осью $x$

Приравниваем функцию к нулю:

$$x^2 + |a|x = 0 \Rightarrow x(x + |a|) = 0$$

Решения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -|a|$$

Шаг 2. Производная функции

Находим производную от $y$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2 + |a|x) = 2x + |a|$$

Шаг 3. Производная в точке $x = 0$

$$y'(0) = 2 \cdot 0 + |a| = |a|$$

Шаг 4. Рассмотрим возможные углы между касательными

Угол между касательными $\varphi = 45^\circ$, значит касательные образуют с осью $x$ углы:

• Острый случай:

$$\beta = 90^\circ — \frac{45^\circ}{2} = 67.5^\circ$$

• Тупой случай:

$$\gamma = 90^\circ + \frac{45^\circ}{2} = 112.5^\circ$$

Но производная в точке $x = 0$ даёт угловой коэффициент касательной: $|a|$

Рассмотрим оба варианта:

Случай 1: угол 67.5° (острый)

$$|a| = \tg 67.5^\circ$$

Преобразуем по формуле:

$$\tg 67.5^\circ = \tg \left(45^\circ + 22.5^\circ\right)$$

Но проще воспользоваться известным тождеством:

$$\tg 67.5^\circ = \sqrt{2} + 1$$

Значит:

$$|a| = \sqrt{2} + 1 \Rightarrow a = \pm (\sqrt{2} + 1)$$

Случай 2: угол 112.5° (тупой)

$$|a| = \tg 112.5^\circ = \tg (180^\circ — 67.5^\circ) = -\tg 67.5^\circ = -(\sqrt{2} + 1)$$

Но производная у нас положительная: $|a| = \text{угловой коэффициент}$, значит:

$$a = -(\sqrt{2} + 1) \Rightarrow \text{не подходит, так как даёт отрицательное значение производной}$$

Теперь рассмотрим:

$$\beta = 22.5^\circ \Rightarrow |a| = \tg 22.5^\circ = \sqrt{2} — 1$$ $$a = \pm (\sqrt{2} — 1)$$

Ответ (б):

$$a = \pm (\sqrt{2} + 1) \quad \text{или} \quad \pm (\sqrt{2} — 1)$$

Итоговые ответы:

а) $a = \pm \sqrt{3}$ или $a = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

б) $a = \pm (\sqrt{2} + 1)$ или $a = \pm (\sqrt{2} — 1)$