ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = 6\sqrt{x} + \frac{3}{x}$;

б) $y = -2\sqrt{x} — \frac{1}{x}$;

в) $y = 10\sqrt{x} + \frac{5}{x}$;

г) $y = -8\sqrt{x} — \frac{1}{x}$

а) $y = 6\sqrt{x} + \frac{3}{x}$;
$y’ = 6(\sqrt{x})’ + 3\left(\frac{1}{x}\right)’ = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{3}{\sqrt{x}} — \frac{3}{x^2};$

б) $y = -2\sqrt{x} — \frac{1}{x}$;
$y’ = -2(\sqrt{x})’ — \left(\frac{1}{x}\right)’ = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2};$

в) $y = 10\sqrt{x} + \frac{5}{x}$;
$y’ = 10(\sqrt{x})’ + 5\left(\frac{1}{x}\right)’ = 10 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{5}{\sqrt{x}} — \frac{5}{x^2};$

г) $y = -8\sqrt{x} — \frac{1}{x}$;
$y’ = -8(\sqrt{x})’ — \left(\frac{1}{x}\right)’ = -8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$

Напомним нужные формулы:

• $\sqrt{x} = x^{1/2} \Rightarrow \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{1}{x} = x^{-1} \Rightarrow \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$
• Производная суммы/разности:
  $(f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)$
• Производная с коэффициентом:
  $(a \cdot f(x))’ = a \cdot f'(x)$

а) $y = 6\sqrt{x} + \frac{3}{x}$

Шаг 1. Перепишем функцию в виде степеней:

$$y = 6x^{1/2} + 3x^{-1}$$

Шаг 2. Применим производную к каждому слагаемому:

$$y’ = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$

Шаг 3. Посчитаем:

• $6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{6}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$
• $3 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{3}{x^2}$

Шаг 4. Складываем:

$$y’ = \frac{3}{\sqrt{x}} — \frac{3}{x^2}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{3}{\sqrt{x}} — \frac{3}{x^2}$$

б) $y = -2\sqrt{x} — \frac{1}{x}$

Шаг 1. Переписываем в степенном виде:

$$y = -2x^{1/2} — x^{-1}$$

Шаг 2. Дифференцируем:

$$y’ = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$

Шаг 3. Вычисляем:

• $-2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{2}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$
• $-(-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}$

Шаг 4. Складываем:

$$y’ = -\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$$

Ответ:

$$y’ = -\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$$

в) $y = 10\sqrt{x} + \frac{5}{x}$

Шаг 1. Записываем:

$$y = 10x^{1/2} + 5x^{-1}$$

Шаг 2. Дифференцируем:

$$y’ = 10 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$

Шаг 3. Вычисляем:

• $10 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{10}{2\sqrt{x}} = \frac{5}{\sqrt{x}}$
• $5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{5}{x^2}$

Шаг 4. Итог:

$$y’ = \frac{5}{\sqrt{x}} — \frac{5}{x^2}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{5}{\sqrt{x}} — \frac{5}{x^2}$$

г) $y = -8\sqrt{x} — \frac{1}{x}$

Шаг 1. Представим как степени:

$$y = -8x^{1/2} — x^{-1}$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = -8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$

Шаг 3. Посчитаем:

• $-8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{8}{2\sqrt{x}} = -\frac{4}{\sqrt{x}}$
• $-(-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}$

Шаг 4. Складываем:

$$y’ = -\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$$

Ответ:

$$y’ = -\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$$