ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \cos x + 2x$;

б) $y = 3 \sin x + \cos x$;

в) $y = \sin x — 3x$;

г) $y = 2 \cos x + \sin x$

а) $y = \cos x + 2x$;
$y’ = (\cos x)’ + (2x)’ = -\sin x + 2$;

б) $y = 3 \sin x + \cos x$;
$y’ = 3(\sin x)’ + (\cos x)’ = 3 \cos x — \sin x$;

в) $y = \sin x — 3x$;
$y’ = (\sin x)’ — (3x)’ = \cos x — 3$;

г) $y = 2 \cos x + \sin x$;
$y’ = 2(\cos x)’ + (\sin x)’ = -2 \sin x + \cos x$

Напомним формулы:

• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
• $\frac{d}{dx}(ax) = a$, где $a$ — константа
• $\frac{d}{dx}(a \cdot f(x)) = a \cdot f'(x)$
• Производная суммы и разности:

  $$(f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)$$

а) $y = \cos x + 2x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \cos x + 2x$$

Шаг 2. Найдём производную суммы:

$$y’ = (\cos x)’ + (2x)’$$

Шаг 3. Используем формулы:

• $(\cos x)’ = -\sin x$
• $(2x)’ = 2$

Шаг 4. Складываем:

$$y’ = -\sin x + 2$$

Ответ:

$$y’ = -\sin x + 2$$

б) $y = 3 \sin x + \cos x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = 3 \sin x + \cos x$$

Шаг 2. Найдём производную каждого слагаемого:

$$y’ = 3(\sin x)’ + (\cos x)’$$

Шаг 3. Подставим значения производных:

• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(\cos x)’ = -\sin x$

Шаг 4. Вычислим:

$$y’ = 3 \cos x — \sin x$$

Ответ:

$$y’ = 3 \cos x — \sin x$$

в) $y = \sin x — 3x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \sin x — 3x$$

Шаг 2. Применим правило разности:

$$y’ = (\sin x)’ — (3x)’$$

Шаг 3. Найдём производные:

• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(3x)’ = 3$

Шаг 4. Вычтем:

$$y’ = \cos x — 3$$

Ответ:

$$y’ = \cos x — 3$$

г) $y = 2 \cos x + \sin x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = 2 \cos x + \sin x$$

Шаг 2. Используем правило суммы и коэффициента:

$$y’ = 2(\cos x)’ + (\sin x)’$$

Шаг 3. Вычислим каждую производную:

• $(\cos x)’ = -\sin x \Rightarrow 2(\cos x)’ = 2 \cdot (-\sin x) = -2 \sin x$
• $(\sin x)’ = \cos x$

Шаг 4. Складываем:

$$y’ = -2 \sin x + \cos x$$

Ответ:

$$y’ = -2 \sin x + \cos x$$