ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = (4x — 9)^7$;

б) $y = \left(12 — \frac{x}{5}\right)^6$;

в) $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12}$;

г) $y = (15 — 9x)^{13}$

а) $y = (4x — 9)^7$;
Пусть $u = 4x — 9$, тогда $y = u^7$;
$y’ = (u^7)’ \cdot (4x — 9)’ = 7u^6 \cdot 4 = 28(4x — 9)^6$;

б) $y = \left(12 — \frac{x}{5}\right)^6$;
Пусть $u = 12 — \frac{x}{5}$, тогда $y = u^6$;
$y’ = (u^6)’ \cdot \left(12 — \frac{x}{5}\right)’ = 6u^5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{6}{5}\left(12 — \frac{x}{5}\right)^5$;

в) $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12}$;
Пусть $u = \frac{x}{3} + 2$, тогда $y = u^{12}$;
$y’ = (u^{12})’ \cdot \left(\frac{x}{3} + 2\right)’ = 12u^{11} \cdot \frac{1}{3} = 4\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11}$;

г) $y = (15 — 9x)^{13}$;
Пусть $u = 15 — 9x$, тогда $y = u^{13}$;
$y’ = (u^{13})’ \cdot (15 — 9x)’ = 13u^{12} \cdot (-9) = -117(15 — 9x)^{12}$

а)

Найти производную:

$$y = (4x — 9)^7$$

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 4x — 9$$

Тогда внешняя функция:

$$y = u^7$$

Шаг 2: Найдём производную внешней функции по переменной $u$:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^7) = 7u^6$$

Шаг 3: Найдём производную внутренней функции $u$ по переменной $x$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(4x — 9) = 4$$

Шаг 4: Применим правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 7u^6 \cdot 4 = 28u^6$$

Шаг 5: Подставим $u = 4x — 9$ обратно:

$$y’ = 28(4x — 9)^6$$

б)

Найти производную:

$$y = \left(12 — \frac{x}{5}\right)^6$$

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 12 — \frac{x}{5}$$

Тогда внешняя функция:

$$y = u^6$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^6) = 6u^5$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(12 — \frac{x}{5}\right) = -\frac{1}{5}$$

Шаг 4: По правилу цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 6u^5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{6}{5}u^5$$

Шаг 5: Подставим $u = 12 — \frac{x}{5}$:

$$y’ = -\frac{6}{5}\left(12 — \frac{x}{5}\right)^5$$

в)

Найти производную:

$$y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12}$$

Шаг 1: Внутренняя функция:

$$u = \frac{x}{3} + 2$$

Шаг 2: Внешняя функция:

$$y = u^{12}$$

Шаг 3: Производная внешней:

$$\frac{dy}{du} = 12u^{11}$$

Шаг 4: Производная внутренней:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3} + 2\right) = \frac{1}{3}$$

Шаг 5: Правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 12u^{11} \cdot \frac{1}{3} = 4u^{11}$$

Шаг 6: Подставим $u = \frac{x}{3} + 2$:

$$y’ = 4\left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11}$$

г)

Найти производную:

$$y = (15 — 9x)^{13}$$

Шаг 1: Внутренняя функция:

$$u = 15 — 9x$$

Шаг 2: Внешняя функция:

$$y = u^{13}$$

Шаг 3: Производная внешней:

$$\frac{dy}{du} = 13u^{12}$$

Шаг 4: Производная внутренней:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(15 — 9x) = -9$$

Шаг 5: Правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 13u^{12} \cdot (-9) = -117u^{12}$$

Шаг 6: Подставим $u = 15 — 9x$:

$$y’ = -117(15 — 9x)^{12}$$