ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = (2x + 1)^5$ и $x_0 = -1$;

б) $y = \sqrt{7x — 3}$ и $x_0 = 1$;

в) $y = \frac{4}{12x — 5}$ и $x_0 = 2$;

г) $y = \sqrt{11 — 5x}$ и $x_0 = -1$

а) $y = (2x + 1)^5$ и $x_0 = -1$;

Пусть $u = 2x + 1$, тогда $y = u^5$;

$y’ = (u^5)’ \cdot (2x + 1)’ = 5u^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$;

$y'(x_0) = 10 \cdot (-2 + 1)^4 = 10 \cdot (-1)^4 = 10 \cdot 1 = 10$;

б) $y = \sqrt{7x — 3}$ и $x_0 = 1$;

Пусть $u = 7x — 3$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (7x — 3)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 7 = \frac{7}{2\sqrt{7x — 3}}$;

$y'(x_0) = \frac{7}{2\sqrt{7 \cdot 1 — 3}} = \frac{7}{2\sqrt{4}} = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1,75$;

в) $y = \frac{4}{12x — 5}$ и $x_0 = 2$;

Пусть $u = 12x — 5$, тогда $y = \frac{4}{u}$;

$y’ = \left( \frac{4}{u} \right)’ \cdot (12x — 5)’ = -\frac{4}{u^2} \cdot 12 = -\frac{48}{(12x — 5)^2}$;

$y'(x_0) = -\frac{48}{(12 \cdot 2 — 5)^2} = -\frac{48}{(24 — 5)^2} = -\frac{48}{19^2} = -\frac{48}{361}$;

г) $y = \sqrt{11 — 5x}$ и $x_0 = -1$;

Пусть $u = 11 — 5x$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (11 — 5x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{11 — 5x}}$;

$y'(x_0) = -\frac{5}{2\sqrt{11 + 5}} = -\frac{5}{2\sqrt{16}} = -\frac{5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}$

а) $y = (2x + 1)^5$, $x_0 = -1$

Шаг 1. Пусть:

$$u = 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad y = u^5$$

Шаг 2. Применим цепное правило:

$$y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 3. Найдём производные:

• $\frac{dy}{du} = 5u^4$
• $\frac{du}{dx} = (2x + 1)’ = 2$

Шаг 4. Объединяем:

$$y’ = 5u^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$$

Шаг 5. Подставим $x_0 = -1$:

$$2x + 1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$$ $$(-1)^4 = 1$$ $$y'(-1) = 10 \cdot 1 = 10$$

Ответ:

$$y'(-1) = 10$$

б) $y = \sqrt{7x — 3}$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Представим функцию как степень:

$$y = (7x — 3)^{1/2}$$

Шаг 2. Пусть:

$$u = 7x — 3 \quad \Rightarrow \quad y = \sqrt{u}$$

Шаг 3. Применим цепное правило:

$$y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 4. Производные:

• $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$
• $\frac{du}{dx} = 7$

Шаг 5. Объединяем:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 7 = \frac{7}{2\sqrt{7x — 3}}$$

Шаг 6. Подставим $x = 1$:

$$7x — 3 = 7 \cdot 1 — 3 = 4$$ $$\sqrt{4} = 2$$ $$y'(1) = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1.75$$

Ответ:

$$y'(1) = \frac{7}{4} = 1{,}75$$

в) $y = \frac{4}{12x — 5}$, $x_0 = 2$

Шаг 1. Пусть:

$$u = 12x — 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{4}{u}$$

Шаг 2. Используем производную дробной функции:

$$\left( \frac{4}{u} \right)’ = -\frac{4}{u^2} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 3. Производная $u$:

• $\frac{du}{dx} = 12$

$$y’ = -\frac{4}{(12x — 5)^2} \cdot 12 = -\frac{48}{(12x — 5)^2}$$

Шаг 4. Подставим $x = 2$:

• $12 \cdot 2 — 5 = 24 — 5 = 19$
• $19^2 = 361$

$$y'(2) = -\frac{48}{361}$$

Ответ:

$$y'(2) = -\frac{48}{361}$$

г) $y = \sqrt{11 — 5x}$, $x_0 = -1$

Шаг 1. Представим как степень:

$$y = (11 — 5x)^{1/2}$$

Шаг 2. Пусть:

$$u = 11 — 5x \quad \Rightarrow \quad y = \sqrt{u}$$

Шаг 3. По цепному правилу:

$$y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 4. Производные:

• $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$
• $\frac{du}{dx} = -5$

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{11 — 5x}}$$

Шаг 5. Подставим $x = -1$:

• $11 — 5(-1) = 11 + 5 = 16$
• $\sqrt{16} = 4$

$$y'(-1) = -\frac{5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}$$

Ответ:

$$y'(-1) = -\frac{5}{8}$$