ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sqrt{4x^2 — 20x + 25}$ и $x_0 = 3$;

б) $y = \sqrt{\sin^2 x — 2 \sin x + 1}$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

в) $y = \sqrt{1 — 10x + 25x^2}$ и $x_0 = 1$;

г) $y = \sqrt{1 — \cos x + \frac{1}{4} \cos^2 x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

а) $y = \sqrt{4x^2 — 20x + 25}$ и $x_0 = 3$;

Пусть $u = 4x^2 — 20x + 25$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (4x^2 — 20x + 25)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (4 \cdot 2x — 20) = \frac{8x — 20}{2\sqrt{4x^2 — 20x + 25}}$;

$y'(x_0) = \frac{8 \cdot 3 — 20}{2\sqrt{4 \cdot 3^2 — 20 \cdot 3 + 25}} = \frac{24 — 20}{2\sqrt{36 — 60 + 25}} = \frac{4}{2\sqrt{1}} = 2$;

б) $y = \sqrt{\sin^2 x — 2 \sin x + 1}$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

Пусть $u = \sin x$ и $z = u^2 — 2u + 1$, тогда:

$z’ = (u^2 — 2u + 1)’ \cdot (\sin x)’ = (2u — 2) \cdot \cos x = 2 \cos x \cdot (\sin x — 1)$;

$y = \sqrt{z}$, значит:

$y’ = (\sqrt{z})’ \cdot z’ = \frac{2 \cos x \cdot (\sin x — 1)}{2\sqrt{z}} = \frac{\cos x \cdot (\sin x — 1)}{\sqrt{\sin^2 x — 2 \sin x + 1}}$;

$y'(x_0) = \frac{\cos \frac{\pi}{3} \cdot (\sin \frac{\pi}{3} — 1)}{\sqrt{\sin^2 \frac{\pi}{3} — 2 \sin \frac{\pi}{3} + 1}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} — 1 \right)}{\sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} — \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4} — \sqrt{3} + 1}} =$

$= \left( \frac{\sqrt{3} — 2}{4} \right) : \sqrt{\frac{3 — 4\sqrt{3} + 4}{4}} = \frac{\sqrt{3} — 2}{4} \cdot \sqrt{\frac{4}{7 — 4\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} — 2}{2\sqrt{7 — 4\sqrt{3}}} =$

$= -\sqrt{\frac{(\sqrt{3} — 2)^2}{2^2 (7 — 4\sqrt{3})}} = -\sqrt{\frac{3 — 4\sqrt{3} + 4}{4 \cdot (7 — 4\sqrt{3})}} = -\sqrt{\frac{7 — 4\sqrt{3}}{4 \cdot (7 — 4\sqrt{3})}} = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$;

в) $y = \sqrt{1 — 10x + 25x^2}$ и $x_0 = 1$;

Пусть $u = 1 — 10x + 25x^2$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (1 — 10x + 25x^2)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}}(-10 + 25 \cdot 2x) = \frac{50x — 10}{2\sqrt{1 — 10x + 25x^2}}$;

$y'(x_0) = \frac{50 \cdot 1 — 10}{2\sqrt{1 — 10 \cdot 1 + 25}} = \frac{40}{2\sqrt{16}} = \frac{20}{4} = 5$;

г) $y = \sqrt{1 — \cos x + \frac{1}{4} \cos^2 x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

Пусть $u = \cos x$ и $z = 1 — u + \frac{1}{4} u^2$, тогда:
$z’ = \left( 1 — u + \frac{1}{4} u^2 \right)’ \cdot (\cos u)’ = \left( -1 + \frac{2u}{4} \right) (-\sin x) = -\sin x \left( \frac{\cos x}{2} — 1 \right);$

$y = \sqrt{z}$, значит:
$y’ = (\sqrt{z})’ \cdot z’ = -\frac{\sin x \cdot \left( \frac{1}{2} \cos x — 1 \right)}{2 \sqrt{z}} = -\frac{\sin x \cdot \left( \frac{1}{2} \cos x — 1 \right)}{2 \sqrt{1 — \cos x + \frac{1}{4} \cos^2 x}};$

$y'(x_0) = -\frac{\sin \frac{\pi}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{4} — 1 \right)}{2 \sqrt{1 — \cos \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} \cos^2 \frac{\pi}{4}}} = -\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} — 1 \right)}{2 \sqrt{1 — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2}}$

$= -\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{4} — 1 \right)}{2 \sqrt{1 — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{16}}} = -\frac{\frac{2}{8} — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \sqrt{1 — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{16}}} = -\frac{\frac{1 — 2\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{4 \cdot \frac{8 — 4\sqrt{2} + 1}{8}}}$

$= \sqrt{\left( \frac{1 — 2\sqrt{2}}{4} \right)^2 \cdot \frac{2}{8 — 4\sqrt{2} + 1}} = \sqrt{\frac{1 — 2 \cdot 2\sqrt{2} + 4 \cdot 2}{16} \cdot \frac{2}{9 — 4\sqrt{2}}}$

$= \sqrt{\frac{1 — 4\sqrt{2} + 8}{8} \cdot \frac{1}{9 — 4\sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{9 — 4\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{1}{9 — 4\sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{2}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4};$

а) $y = \sqrt{4x^2 — 20x + 25}$, $x_0 = 3$

Шаг 1. Введём замену:

$$u = 4x^2 — 20x + 25, \quad y = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Шаг 2. Используем правило производной сложной функции:

$$y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 3. Найдём производные:

• $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$
• $\frac{du}{dx} = (4x^2 — 20x + 25)’ = 8x — 20$

Шаг 4. Собираем:

$$y’ = \frac{8x — 20}{2\sqrt{4x^2 — 20x + 25}}$$

Шаг 5. Подставим $x = 3$:

• Числитель: $8 \cdot 3 — 20 = 24 — 20 = 4$
• Подкоренное выражение: $4 \cdot 9 — 60 + 25 = 36 — 60 + 25 = 1$

$$y'(3) = \frac{4}{2\sqrt{1}} = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$$

Ответ:

$$y'(3) = 2$$

б) $y = \sqrt{\sin^2 x — 2 \sin x + 1}$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$

Шаг 1. Упростим подкоренное выражение:

$$\sin^2 x — 2 \sin x + 1 = (\sin x — 1)^2 \Rightarrow y = \sqrt{(\sin x — 1)^2} = |\sin x — 1|$$

Но при $x_0 = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \sin x \approx 0.866$, а $\sin x — 1 < 0$, поэтому:

$$y = -( \sin x — 1 ) = 1 — \sin x \Rightarrow y’ = -\cos x$$

Шаг 2. Вычислим:

$$y’ \left( \frac{\pi}{3} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$y’ \left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$$

в) $y = \sqrt{1 — 10x + 25x^2}$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Введём замену:

$$u = 1 — 10x + 25x^2, \quad y = \sqrt{u}$$

Шаг 2. Используем цепное правило:

$$y’ = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Шаг 3. Производные:

• $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$
• $\frac{du}{dx} = (-10 + 50x) = 50x — 10$

$$y’ = \frac{50x — 10}{2\sqrt{1 — 10x + 25x^2}}$$

Шаг 4. Подставим $x = 1$:

• Числитель: $50 — 10 = 40$
• Подкоренное: $1 — 10 + 25 = 16 \Rightarrow \sqrt{16} = 4$

$$y'(1) = \frac{40}{2 \cdot 4} = \frac{40}{8} = 5$$

Ответ:

$$y'(1) = 5$$

г) $y = \sqrt{1 — \cos x + \frac{1}{4} \cos^2 x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = \cos x, \quad z = 1 — u + \frac{1}{4} u^2, \quad y = \sqrt{z}$$

Шаг 2. Найдём $z’$ через цепное правило:

• $z = 1 — u + \frac{1}{4} u^2 \Rightarrow \frac{dz}{du} = -1 + \frac{1}{2} u$
• $\frac{du}{dx} = -\sin x$

$$z’ = \frac{dz}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \left( -1 + \frac{1}{2} \cos x \right)( -\sin x ) = -\sin x \left( \frac{\cos x}{2} — 1 \right)$$

Шаг 3. Теперь:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{z}} \cdot z’ = -\frac{\sin x \left( \frac{\cos x}{2} — 1 \right)}{2 \sqrt{1 — \cos x + \frac{1}{4} \cos^2 x}}$$

Шаг 4. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$

• $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В числителе:

$$\sin x(\frac{\cos x}{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{4}-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(\frac{\sqrt{2}-4}{4}\right)=$$

$$\sin x \left( \frac{\cos x}{2} — 1 \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{4} — 1 \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2} — 4}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} — 4)}{8} = \frac{2 — 4\sqrt{2}}{8}$$

В знаменателе:

$$1 — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} — \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Точный итог:

$$y’\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Ответ:

$$y’\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Итоговые ответы:

а) $y'(3) = 2$

б) $y’\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$

в) $y'(1) = 5$

г) $y’\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$