ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x):

а) $f(x) = \cos 2x$ и $g(x) = \sin x$;

б) $f(x) = \sin 6x$ и $g(x) = \cos 12x + 4$;

в) $f(x) = \frac{2}{3} \sin 3x$ и $g(x) = \cos 2x$;

г) $f(x) = \sqrt{x^2 — 2x}$ и $g(x) = 2\sqrt{x}$

а) $f(x) = \cos 2x$ и $g(x) = \sin x$;

$f'(x) = (\cos 2x)’ = -2 \sin 2x$;

$g'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

$f'(x) = g'(x)$:

$$-2 \sin 2x = \cos x;$$ $$-2 \cdot 2 \sin x \cos x — \cos x = 0;$$ $$\cos x (-4 \sin x — 1) = 0;$$

$\cos x = 0$;

$$x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

$-4 \sin x — 1 = 0$;

$$-4 \sin x = 1;$$ $$\sin x = -\frac{1}{4};$$ $$x = (-1)^n \arcsin \left( -\frac{1}{4} \right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$.

б) $f(x) = \sin 6x$ и $g(x) = \cos 12x + 4$;

$f'(x) = (\sin 6x)’ = 6 \cos 6x$;

$g'(x) = (\cos 12x)’ + (4)’ = -12 \sin 12x$;

$f'(x) = g'(x)$:

$$6 \cos 6x = -12 \sin 12x;$$ $$6 \cos 6x + 12 \sin 12x = 0;$$ $$6 \cos 6x + 24 \sin 6x \cos 6x = 0;$$ $$6 \cos 6x (1 + 4 \sin 6x) = 0;$$

$6 \cos 6x = 0$;

$$\cos 6x = 0;$$ $$6x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6};$$

$1 + 4 \sin 6x = 0$;

$$4 \sin 6x = -1;$$ $$\sin 6x = -\frac{1}{4};$$ $$6x = (-1)^n \arcsin \left( -\frac{1}{4} \right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n;$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{6} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}; \quad (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{6} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{\pi n}{6}$.

в) $f(x) = \frac{2}{3} \sin 3x$ и $g(x) = \cos 2x$;

$f'(x) = \frac{2}{3} (\sin 3x)’ = \frac{2}{3} \cdot 3 \cos 3x = 2 \cos 3x$;

$g'(x) = (\cos 2x)’ = -2 \sin 2x$;

$f'(x) = g'(x)$:

$$2 \cos 3x = -2 \sin 2x;$$ $$\cos 3x + \sin 2x = 0;$$ $$\cos 3x + \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0;$$ $$\cos 3x + \cos \left( \frac{\pi — 4x}{2} \right) = 0;$$ $$2 \cdot \cos \left( \frac{3x + \frac{\pi — 4x}{2}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x — \frac{\pi — 4x}{2}}{2} \right) = 0;$$ $$\cos \left( \frac{6x + \pi — 4x}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{6x — \pi + 4x}{4} \right) = 0;$$ $$\cos \left( \frac{2x + \pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{10x — \pi}{4} \right) = 0;$$

$\cos \left( \frac{2x + \pi}{4} \right) = 0$;

$$\frac{2x + \pi}{4} = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 4\pi n;$$ $$2x + \pi = \pi + 4\pi n;$$ $$2x = 4\pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

$\cos \left( \frac{10x — \pi}{4} \right) = 0$;

$$\frac{10x — \pi}{4} = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 4\pi n;$$ $$10x — \pi = \pi + 4\pi n;$$ $$10x = 2\pi + 4\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5};$$

Ответ: $2\pi n; \quad \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}$.

г) $f(x) = \sqrt{x^2 — 2x}$ и $g(x) = 2\sqrt{x}$;

Пусть $u = x^2 — 2x$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$$f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (x^2 — 2x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (2x — 2) = \frac{x — 1}{\sqrt{x^2 — 2x}};$$

$g'(x) = 2(\sqrt{x})’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

$f'(x) = g'(x)$:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x — 1}{\sqrt{x^2 — 2x}};$$ $$\frac{x — 1}{\sqrt{x(x — 2)}} = 1;$$ $$x — 1 = \sqrt{x^2 — 2x};$$ $$x^2 — 2x + 1 = x^2 — 2x;$$ $$x^2 — 3x + 3 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 3 = 9 — 12 = -3;$$

$D < 0$, значит корней нет.

Ответ: таких значений не существует.

а)

Даны функции:

$$f(x) = \cos 2x, \quad g(x) = \sin x.$$

Найти такие значения $x$, при которых производные этих функций равны:

$$f'(x) = g'(x).$$

Шаг 1: Найдём производные

• Производная функции $f(x) = \cos 2x$:

По правилу производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[\cos 2x] = -\sin 2x \cdot \frac{d}{dx}[2x] = -2 \sin 2x.$$

• Производная функции $g(x) = \sin x$:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x.$$

Шаг 2: Приравняем производные

$$f'(x) = g'(x) \Rightarrow -2 \sin 2x = \cos x.$$

Шаг 3: Преобразуем левую часть

Вспомним формулу двойного угла для синуса:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставим в уравнение:

$$-2 \cdot 2 \sin x \cos x = \cos x,$$ $$-4 \sin x \cos x = \cos x.$$

Шаг 4: Перенесём всё в одну сторону

$$-4 \sin x \cos x — \cos x = 0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x (-4 \sin x — 1) = 0.$$

Шаг 5: Решим полученное уравнение

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

Случай 1: $\cos x = 0$

$$x = \pm \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Случай 2: $-4 \sin x — 1 = 0$

Решим:

$$-4 \sin x = 1 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{4}.$$

Теперь найдём общее решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{4}$:

$$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n.$$ $$= (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n.$$

Итог:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.}$$

б)

Дано:

$$f(x) = \sin 6x, \quad g(x) = \cos 12x + 4.$$

Шаг 1: Найдём производные

• $f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin 6x] = \cos 6x \cdot \frac{d}{dx}[6x] = 6 \cos 6x$.
• $g'(x) = \frac{d}{dx}[\cos 12x + 4] = -\sin 12x \cdot 12 + 0 = -12 \sin 12x$.

Шаг 2: Приравниваем производные

$$6 \cos 6x = -12 \sin 12x.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$6 \cos 6x + 12 \sin 12x = 0.$$

Шаг 3: Раскроем $\sin 12x$ через $\sin 6x \cos 6x$

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 12x = 2 \sin 6x \cos 6x.$$

Подставляем:

$$6 \cos 6x + 12 \cdot 2 \sin 6x \cos 6x = 0;$$ $$6 \cos 6x + 24 \sin 6x \cos 6x = 0.$$

Вынесем $6 \cos 6x$:

$$6 \cos 6x (1 + 4 \sin 6x) = 0.$$

Шаг 4: Решим произведение

Случай 1: $\cos 6x = 0$

$$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}.$$

Случай 2: $1 + 4 \sin 6x = 0$

$$\sin 6x = -\frac{1}{4}.$$

Общее решение:

$$6x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n;$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{6} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{\pi n}{6}.$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}; \quad x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{6} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{\pi n}{6}.}$$

в)

$$f(x) = \frac{2}{3} \sin 3x, \quad g(x) = \cos 2x.$$

Шаг 1: Найдём производные

• $f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3 \cos 3x = 2 \cos 3x$;
• $g'(x) = -2 \sin 2x$;

Шаг 2: Приравняем

$$2 \cos 3x = -2 \sin 2x \Rightarrow \cos 3x + \sin 2x = 0.$$

Шаг 3: Преобразуем $\sin 2x$ в косинус

$$\sin 2x = \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = \cos\left(\frac{\pi — 4x}{2}\right).$$

Получаем:

$$\cos 3x + \cos\left(\frac{\pi — 4x}{2}\right) = 0.$$

Шаг 4: Сложение косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right).$$

Пусть:

• $A = 3x$,
• $B = \frac{\pi — 4x}{2}$

Тогда:

• $A + B = 3x + \frac{\pi — 4x}{2} = \frac{6x + \pi — 4x}{2} = \frac{2x + \pi}{2}$,
• $A — B = 3x — \frac{\pi — 4x}{2} = \frac{6x — \pi + 4x}{2} = \frac{10x — \pi}{2}$.

Подставим в формулу:

$$2 \cos\left(\frac{2x + \pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{10x — \pi}{4}\right) = 0.$$

Шаг 5: Произведение косинусов равно нулю

Случай 1: $\cos\left(\frac{2x + \pi}{4}\right) = 0$

$$\frac{2x + \pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 2x + \pi = 2\pi + 4\pi n \Rightarrow 2x = 4\pi n \Rightarrow x = 2\pi n.$$

Случай 2: $\cos\left(\frac{10x — \pi}{4}\right) = 0$

$$\frac{10x-\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow 10x-\pi =2\pi +4\pi n\Rightarrow 10x=2\pi +4\pi n+\pi =$$

$$\frac{10x — \pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 10x — \pi = 2\pi + 4\pi n \Rightarrow 10x = 2\pi + 4\pi n + \pi = 2\pi + 4\pi n + \pi = 2\pi + 4\pi n + \pi = 2\pi + \pi + 4\pi n = 3\pi + 4\pi n.$$

Неверно! Поправим:

$$10x — \pi = \pi + 4\pi n \Rightarrow 10x = 2\pi + 4\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}.$$

Ответ:

$$\boxed{x = 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi n}{5}.}$$

г)

$$f(x) = \sqrt{x^2 — 2x}, \quad g(x) = 2\sqrt{x}.$$

Шаг 1: Найдём производные

Обозначим:
$u = x^2 — 2x \Rightarrow f(x) = \sqrt{u}$.
Тогда:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{d}{dx}[x^2 — 2x] = \frac{1}{2\sqrt{x^2 — 2x}} \cdot (2x — 2) = \frac{x — 1}{\sqrt{x^2 — 2x}}.$$

Теперь $g(x) = 2\sqrt{x} \Rightarrow g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Шаг 2: Приравняем производные

$$\frac{x — 1}{\sqrt{x^2 — 2x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Преобразуем $\sqrt{x^2 — 2x} = \sqrt{x(x — 2)}$, тогда:

$$\frac{x — 1}{\sqrt{x(x — 2)}} = \frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Умножим обе части на $\sqrt{x(x — 2)}$:

$$x — 1 = \sqrt{x(x — 2)}.$$

Шаг 3: Возведём обе части в квадрат

$$(x — 1)^2 = x(x — 2),$$ $$x^2 — 2x + 1 = x^2 — 2x.$$

Вычтем $x^2 — 2x$ из обеих частей:

$$x^2 — 2x + 1 — (x^2 — 2x) = 1 = 0.$$

Противоречие.

Вывод:

$$\boxed{\text{Решений нет. Таких значений } x \text{ не существует.}}$$