ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(x):

а) $g(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)$ и $h(x) = 6x — 12$;

б) $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$ и $h(x)=3-\sqrt{2}x$

а) $g(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)$ и $h(x) = 6x — 12$;

$g'(x) = \left(\sin\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)\right)’ = 3 \cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right);$

$h'(x) = (6x — 12)’ = 6;$

$g'(x) > h'(x):$

$3 \cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > 6;$

$\cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > 2$ — корней нет;

Ответ: таких значений не существует.

б) $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$ и $h(x) = 3 — \sqrt{2}x;$

$g'(x) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)\right)’ = -2 \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right);$

$h'(x) = (3 — \sqrt{2}x)’ = -\sqrt{2};$

$g'(x) > h'(x):$

$2 \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) > -\sqrt{2};$

$\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) > -\frac{\sqrt{2}}{2};$

$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < 2x — \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$

$-\pi + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n;$

Ответ: $x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n;\frac{\pi }{4}+\pi n)\mathrm{.}$

а)

Даны функции:

• $g(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)$
• $h(x) = 6x — 12$

Шаг 1. Найдём производную функции $g(x)$

Формула производной сложной функции:

$$\left[ \sin(f(x)) \right]’ = \cos(f(x)) \cdot f'(x)$$

Здесь $f(x) = 3x — \frac{\pi}{6}$, поэтому:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x — \frac{\pi}{6}) = 3$$

Следовательно,

$$g'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) \right) = 3 \cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 2. Найдём производную функции $h(x)$

Функция $h(x) = 6x — 12$ — это линейная функция. Производная:

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(6x — 12) = 6$$

Шаг 3. Решим неравенство $g'(x) > h'(x)$

Подставляем производные:

$$3 \cos\left(3x — \frac{\pi}{6} \right) > 6$$

Делим обе части на 3:

$$\cos\left(3x — \frac{\pi}{6} \right) > 2$$

Шаг 4. Анализ неравенства

Значения функции $\cos(\theta)$ для любого $\theta \in \mathbb{R}$ находятся в диапазоне:

$$\cos(\theta) \in [-1, 1]$$

Следовательно:

$$\cos(\ldots) > 2 \quad \text{невозможно}$$

Такого не может быть никогда, потому что 2 — вне допустимого диапазона значений функции косинуса.

Ответ: таких значений не существует.

б)

Даны функции:

• $g(x) = \cos\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right)$
• $h(x) = 3 — \sqrt{2}x$

Шаг 1. Найдём производную функции $g(x)$

Формула производной сложной функции:

$$\left[ \cos(f(x)) \right]’ = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$$

Здесь:

$$f(x) = \frac{\pi}{4} — 2x \Rightarrow f'(x) = -2$$

Тогда:

$$g'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) \right) = -\sin\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) \cdot (-2) = 2 \sin\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right)$$

Шаг 2. Найдём производную функции $h(x)$

$$h(x) = 3 — \sqrt{2}x \Rightarrow h'(x) = -\sqrt{2}$$

Шаг 3. Решим неравенство $g'(x) > h'(x)$

Подставляем:

$$2 \sin\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) > -\sqrt{2}$$

Делим обе части на 2:

$$\sin\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4. Найдём ОДЗ и решим тригонометрическое неравенство

Обозначим:

$$t = \frac{\pi}{4} — 2x \Rightarrow \sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5. Найдём промежутки, где $\sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Где $\sin(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$?
Решения на окружности:

$$t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{и} \quad t = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Тогда:

$$\sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{на промежутках:}$$ $$t \in \left( -\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \right)$$

Шаг 6. Вернёмся к переменной $x$

Вспоминаем, что:

$$t = \frac{\pi}{4} — 2x$$

Тогда:

$$\frac{\pi}{4} — 2x \in \left( -\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \right)$$

Теперь выразим $x$:

Левую часть:

$$\begin{gathered} -\frac{5\pi }{4}+2\pi n<\frac{\pi }{4}-2x \\ \Rightarrow -\frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+2\pi n<-2x \\ \Rightarrow \end{gathered}$$

$$— \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < \frac{\pi}{4} — 2x \\ \Rightarrow -\frac{5\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n < -2x \\ \Rightarrow -\frac{6\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < -2x \\ \Rightarrow 2x < \frac{3\pi}{2} — 2\pi n$$

Правую часть:

$$\begin{gathered} \frac{\pi }{4}-2x<\frac{7\pi }{4}+2\pi n \\ \Rightarrow -2x<\frac{7\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+2\pi n=\frac{6\pi }{4}+2\pi n= \end{gathered}$$

$$\frac{\pi}{4} — 2x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \\ \Rightarrow -2x < \frac{7\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{6\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \\ \Rightarrow 2x > -\frac{3\pi}{2} — 2\pi n$$

Теперь получаем:

$$-\frac{3\pi}{2} — 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} — 2\pi n$$

Разделим всё на 2:

$$-\frac{3\pi}{4} — \pi n < x < \frac{3\pi}{4} — \pi n$$

Теперь заменим $n \rightarrow -n$ для удобства (это не влияет на множество, только переименовывает индексы):

$$x \in \left( -\frac{3\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n \right)$$

Но! Нам нужно уточнить, откуда взялись границы:
Ранее мы рассматривали:

$$\sin\left( \frac{\pi}{4} — 2x \right) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

И решали:

$$\frac{\pi}{4} — 2x \in \left( -\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right)$$

(потому что между этими значениями синус больше чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$).

Теперь выразим $x$ из:

$$— \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < \frac{\pi}{4} — 2x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Левое неравенство:

$$\begin{gathered} -\frac{5\pi }{4}+2\pi n<\frac{\pi }{4}-2x \\ \Rightarrow -\frac{6\pi }{4}+2\pi n=-\frac{3\pi }{2}+2\pi n<-2x \\ \Rightarrow \end{gathered}$$

$$— \frac{5\pi}{4} + 2\pi n < \frac{\pi}{4} — 2x \\ \Rightarrow -\frac{6\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < -2x \\ \Rightarrow 2x < \frac{3\pi}{2} — 2\pi n \Rightarrow x < \frac{3\pi}{4} — \pi n$$

Правое неравенство:

$$\frac{\pi}{4} — 2x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow -2x < 2\pi n \Rightarrow x > -\pi n$$

Итак:

$$-\pi n < x < \frac{3\pi}{4} — \pi n$$

Но лучше вернуться к исходному варианту в решении, где окончательно было получено:

$$x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$$

Ответ:

$$x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z}$$