ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \sin(3x — 9)$;

б) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} — 4x\right)$;

в) $y = \sin(5 — 3x)$;

г) $y = \cos(9x — 10)$

а) $y = \sin(3x — 9)$;
Пусть $u = 3x — 9$, тогда $y = \sin u$;
$y’ = (\sin u)’ \cdot (3x — 9)’ = \cos u \cdot 3 = 3 \cos(3x — 9)$;

б) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} — 4x\right)$;
Пусть $u = \frac{\pi}{3} — 4x$, тогда $y = \cos u$;
$y’ = (\cos u)’ \cdot \left(\frac{\pi}{3} — 4x\right)’ = -\sin u \cdot (-4) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{3} — 4x\right)$;

в) $y = \sin(5 — 3x)$;
Пусть $u = 5 — 3x$, тогда $y = \sin u$;
$y’ = (\sin u)’ \cdot (5 — 3x)’ = \cos u \cdot (-3) = -3 \cos(5 — 3x)$;

г) $y = \cos(9x — 10)$;
Пусть $u = 9x — 10$, тогда $y = \cos u$;
$y’ = (\cos u)’ \cdot (9x — 10)’ = -\sin u \cdot 9 = -9 \sin(9x — 10)$

а)

Найти производную:

$$y = \sin(3x — 9)$$

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 3x — 9$$

Тогда исходная функция представляется как:

$$y = \sin(u)$$

Шаг 2: Найдём производную внешней функции по переменной $u$:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sin u) = \cos u$$

Шаг 3: Найдём производную внутренней функции $u$ по переменной $x$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x — 9) = 3$$

Шаг 4: Применим правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 3 = 3 \cos u$$

Шаг 5: Подставим $u = 3x — 9$:

$$y’ = 3 \cos(3x — 9)$$

б)

Найти производную:

$$y = \cos\left(\frac{\pi}{3} — 4x\right)$$

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = \frac{\pi}{3} — 4x$$

Тогда функция становится:

$$y = \cos(u)$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\cos u) = -\sin u$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{3} — 4x\right) = -4$$

Шаг 4: Применим правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = (-\sin u) \cdot (-4) = 4 \sin u$$

Шаг 5: Подставим $u = \frac{\pi}{3} — 4x$:

$$y’ = 4 \sin\left(\frac{\pi}{3} — 4x\right)$$

в)

Найти производную:

$$y = \sin(5 — 3x)$$

Шаг 1: Внутренняя функция:

$$u = 5 — 3x$$

Тогда $y = \sin(u)$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \cos u$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = -3$$

Шаг 4: По правилу цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot (-3) = -3 \cos u$$

Шаг 5: Подставим обратно:

$$y’ = -3 \cos(5 — 3x)$$

г)

Найти производную:

$$y = \cos(9x — 10)$$

Шаг 1: Внутренняя функция:

$$u = 9x — 10$$

Тогда $y = \cos(u)$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = -\sin u$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = 9$$

Шаг 4: Применим правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = (-\sin u) \cdot 9 = -9 \sin u$$

Шаг 5: Подставим:

$$y’ = -9 \sin(9x — 10)$$