ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен а, если:

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ и $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $f(x) = \cos^2 x$ и $k = \frac{1}{2}$

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ и $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$f'(x) = (\sin x)’ \cos x + \sin x (\cos x)’ = \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$;

$\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$2x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;

$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$;

б) $f(x) = \cos^2 x$ и $k = \frac{1}{2}$;

Пусть $u = \cos x$, тогда $f(x) = u^2$;

$f'(x) = (u^2)’ \cdot (\cos x)’ = 2u \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cdot \cos x = -\sin 2x$;

$-\sin 2x = \frac{1}{2}$;

$\sin 2x = -\frac{1}{2}$;

$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$

а) $f(x) = \sin x \cdot \cos x$, $k = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$.

Функция задана в виде произведения двух функций:

$$f(x) = \sin x \cdot \cos x$$

Используем правило произведения:

$$(f(x))’ = (\sin x)’ \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x)’$$

Подставим производные:

• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(\cos x)’ = -\sin x$

Тогда:

$$f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Но это выражение — известная тригонометрическая формула:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$$

Значит:

$$f'(x) = \cos 2x$$

Шаг 2. Приравняем производную к заданному значению $k = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$$\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3. Решим уравнение $\cos 2x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Решим уравнение:

$$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Значения косинуса равного $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигаются в следующих четвертях:

• во второй четверти: $\theta = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
• в третьей четверти: $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

Но так как косинус — чётная функция и периодическая с периодом $2\pi$, то:

$$2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4. Разделим на 2, чтобы найти $x$:

$$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ для пункта а:

$$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $f(x) = \cos^2 x$, $k = \dfrac{1}{2}$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x) = \cos^2 x$.

Это функция в виде квадрата другой функции.
Запишем:

$$f(x) = (\cos x)^2$$

Пусть:

$$u = \cos x \Rightarrow f(x) = u^2$$

Теперь применим правило производной сложной функции (цепное правило):

$$f'(x) = \frac{d}{dx} (u^2) = 2u \cdot \frac{du}{dx}$$

Так как $u = \cos x$, то:

$$\frac{du}{dx} = -\sin x$$

Следовательно:

$$f'(x) = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$$

Теперь применим тригонометрическую формулу:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

Тогда:

$$f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2x = -\sin 2x$$

Шаг 2. Приравняем производную к заданному значению $k = \dfrac{1}{2}$.

$$f'(x) = -\sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3. Решим уравнение $\sin 2x = -\dfrac{1}{2}$.

Рассмотрим общее решение:

Сначала найдём частные решения:

$$\sin \theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{6},\quad \text{или} \quad \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$

Общее решение:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi n$$ $$\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow 2x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 4. Разделим обе части на 2:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2},\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ для пункта б:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2},\quad n \in \mathbb{Z}$$