ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0:

а) $f(x) = \operatorname{tg}^3 x$

б) $f(x) = \sin^2 x \cdot \cos 2x$

а) $f(x) = \operatorname{tg}^3 x$ и $k = 0$;

Пусть $u = \operatorname{tg} x$, тогда $f(x) = u^3$;

$$f'(x) = (u^3)’ \cdot (\operatorname{tg} x)’ = 3u^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 3 \cdot \frac{\operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x};$$

$3 \cdot \frac{\operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x} = 0$;

$$\operatorname{tg}^2 x = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = 0;$$ $$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ: $\pi n$.

б) $f(x) = \sin^2 x \cdot \cos 2x$;

Пусть $u = \sin x$ и $z = u^2$, тогда:

$$z’_x = (u^2)’ \cdot (\sin x)’ = 2u \cdot \cos x = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \sin 2x;$$

Пусть $n = 2x$ и $t = \cos n$, тогда:

$$t’ = (\cos n)’ \cdot (2x)’ = -\sin n \cdot 2 = -2 \sin 2x;$$

$f(x) = z \cdot t$, значит:

$$f'(x) = z’_x \cdot t + z \cdot t’_x = \sin 2x \cdot \cos 2x + \sin^2 x \cdot (-2 \sin 2x) =$$ $$= \sin 2x (\cos 2x — 2 \sin^2 x) = \sin 2x (\cos 2x — (1 — \cos 2x)) =$$ $$= \sin 2x (2 \cos 2x — 1);$$

$\sin 2x = 0$;

$$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

$2 \cos 2x — 1 = 0$;

$$\cos 2x = 1;$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) $f(x) = \tan^3 x$, $k = 0$

Шаг 1. Представим функцию в виде сложной функции.

Пусть:

$$u = \tan x \Rightarrow f(x) = u^3 = \tan^3 x$$

Шаг 2. Найдём производную с помощью цепного правила.

Цепное правило:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(u^3) = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx}$$

А производная $\tan x$ равна:

$$\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Тогда:

$$f'(x) = 3 \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3 \tan^2 x}{\cos^2 x}$$

Шаг 3. Приравняем производную к заданному значению $k = 0$.

$$\frac{3 \tan^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Шаг 4. Решим уравнение.

Дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

• $\tan^2 x = 0 \Rightarrow \tan x = 0$
• При этом $\cos x \neq 0$, иначе $\tan x$ не существует (разрыв функции).

Решение уравнения:

$$\tan x = 0 \Rightarrow x = \arctan 0 + \pi n = 0 + \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Проверка допустимости:

На множестве $x = \pi n$, $\cos x = \pm1 \neq 0$ — значит, $\tan x$ существует и всё корректно.

Ответ для пункта а:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $f(x) = \sin^2 x \cdot \cos 2x$

Шаг 1. Представим функцию как произведение двух выражений.

Пусть:

• $z = \sin^2 x$
• $t = \cos 2x$

Тогда:

$$f(x) = z \cdot t$$

Шаг 2. Найдём производную каждого множителя.

2.1 Найдём $z’$, где $z = \sin^2 x$

Это снова функция от функции (внешняя $u^2$, внутренняя $\sin x$).

$$\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Это выражение — тригонометрическая формула:

$$2 \sin x \cos x = \sin 2x \Rightarrow z’ = \sin 2x$$

2.2 Найдём $t’$, где $t = \cos 2x$

$$\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -\sin 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -\sin 2x \cdot 2 = -2 \sin 2x$$

Шаг 3. Применим правило производной произведения.

$$f'(x) = z’ \cdot t + z \cdot t’$$

Подставим:

$$f'(x) = \sin 2x \cdot \cos 2x + \sin^2 x \cdot (-2 \sin 2x)$$

Вынесем $\sin 2x$ за скобку:

$$f'(x) = \sin 2x \cdot (\cos 2x — 2 \sin^2 x)$$

Теперь упростим вторую часть скобки.

Шаг 4. Упростим выражение $\cos 2x — 2 \sin^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x \Rightarrow \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = 2\cos^2 x — 1$$

Но в этом случае полезнее использовать:

$$\cos 2x = 1 — 2 \sin^2 x \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Подставим:

$$\cos 2x — 2 \sin^2 x = \cos 2x — 2 \cdot \frac{1 — \cos 2x}{2} = \cos 2x — (1 — \cos 2x)$$ $$= \cos 2x — 1 + \cos 2x = 2 \cos 2x — 1$$

Шаг 5. Получаем окончательную производную.

$$f'(x) = \sin 2x \cdot (2 \cos 2x — 1)$$

Шаг 6. Найдём точки, где $f'(x) = 0$

Уравнение:

$$\sin 2x \cdot (2 \cos 2x — 1) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

6.1 Первый случай: $\sin 2x = 0$

Решим:

$$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

6.2 Второй случай: $2 \cos 2x — 1 = 0$

$$2 \cos 2x — 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$$

Решим:

$$\cos \theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\Rightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\Rightarrow$$

$$\cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ для пункта б:

$$x = \frac{\pi n}{2};\quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$