ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите корни уравнения $f'(x) = 0$, принадлежащие отрезку $[0, 2]$, если известно, что $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$.

б) Найдите корни уравнения $f'(x) = 0$, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$, если известно, что $f(x) = \sin^2 x — \cos x — 1$.

а) $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$;

Пусть $u = \cos x$ и $z = u^2$, тогда:

$$z’_x = (u^2)’ \cdot (\cos x) = 2u \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x;$$

$f(x) = z + 1 + \sin x$, значит:

$$f'(x) = z’_x + (1)’ + (\sin x)’ = -2 \sin x \cos x + \cos x = \cos x (1 — \sin x);$$

$f'(x) = 0$ на участке $[0; 2]$:

$$\cos x (1 — \sin x) = 0;$$

$\cos x = 0$:

$$x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{2};$$

$1 — \sin x = 0$:

$$\sin x = 1;$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin 1 + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}$.

б) $f(x) = \sin^2 x — \cos x — 1$;

Пусть $u = \sin x$ и $z = u^2$, тогда:

$$z’_x = (u^2)’ \cdot (\sin x) = 2u \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x;$$

$f(x) = z — \cos x — 1$:

$$f'(x) = z’_x — (\cos x)’ — (1)’ = 2 \sin x \cos x + \sin x = \sin x (2 \cos x + 1);$$

$f'(x) = 0$ на участке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$:

$$\sin x (2 \cos x + 1) = 0;$$

$\sin x = 0$:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin 0 + \pi n = (-1)^n \cdot 0 + \pi n = \pi n;$$

$$x=\pi$$

$2 \cos x + 1 = 0$:

$$2 \cos x = -1;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{2\pi}{3};$$ $$x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}$; $\mathrm{\pi .}$

а) $f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$, отрезок $[0; 2]$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$.

Функция состоит из суммы:

$$f(x) = \cos^2 x + 1 + \sin x$$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1.1 Найдём производную от $\cos^2 x$:

Представим как сложную функцию:
Пусть $u = \cos x \Rightarrow \cos^2 x = u^2$

По правилу цепочки:

$$\frac{d}{dx}(u^2) = 2u \cdot \frac{du}{dx}$$

Так как $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$, то:

$$\frac{d}{dx}(\cos^2 x) = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$$

1.2 Производная от константы $1$:

$$\frac{d}{dx}(1) = 0$$

1.3 Производная от $\sin x$:

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

1.4 Соберём всё вместе:

$$f'(x) = -2 \sin x \cos x + 0 + \cos x = \cos x (1 — 2 \sin x)$$

Шаг 2. Приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = \cos x (1 — 2 \sin x) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

2.1 Первый случай: $\cos x = 0$

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Рассмотрим значения в пределах $[0; 2]$:

• При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \in [0; 2]$
• При $n = 1$: $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 \notin [0; 2]$

Значение: $x = \frac{\pi}{2}$

2.2 Второй случай: $1 — 2 \sin x = 0$

$$1 — 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n$$ $$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Подставим $n = 0$, проверим попадание в отрезок $[0; 2]$:

• $\frac{\pi}{6} \approx 0.52 \in [0; 2]$
• $\frac{5\pi}{6} \approx 2.61 \notin [0; 2]$

Значение: $x = \frac{\pi}{6}$

Ответ для пункта а:

$$x = \frac{\pi}{6};\quad x = \frac{\pi}{2}$$

б) $f(x) = \sin^2 x — \cos x — 1$, отрезок $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$

Функция:

$$f(x) = \sin^2 x — \cos x — 1$$

1.1 Производная от $\sin^2 x$:

Пусть $u = \sin x \Rightarrow \sin^2 x = u^2$

$$\frac{d}{dx}(u^2) = 2u \cdot \frac{du}{dx} = 2 \sin x \cdot \cos x$$

1.2 Производная от $-\cos x$:

$$\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$$

1.3 Производная от $-1$:

$$\frac{d}{dx}(-1) = 0$$

1.4 Собираем всё:

$$f'(x) = 2 \sin x \cos x + \sin x = \sin x (2 \cos x + 1)$$

Шаг 2. Приравниваем производную к нулю:

$$f'(x) = \sin x (2 \cos x + 1) = 0$$

2.1 Первый случай: $\sin x = 0$

$$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$$

Проверим, какие значения попадают в $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$:

• При $n = 0$: $x = 0 \notin \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$
• При $n = 1$: $x = \pi \approx 3.14 \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

Значение: $x = \pi$

2.2 Второй случай: $2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$

$$x = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3},\quad x = \frac{4\pi}{3}$$

Проверим попадание в отрезок $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$:

• $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$
• $\frac{4\pi}{3} \approx 4.19 \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

Значения: $x = \frac{2\pi}{3};\quad x = \frac{4\pi}{3}$

Ответ для пункта б:

$$x = \pi;\quad x = \frac{2\pi}{3};\quad x = \frac{4\pi}{3}$$