ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение f(x) = 0, если:

а) $f(x) = \sqrt{\cos 2x}$ $$$$

б) $f(x) = \operatorname{tg}^2 x$

в) $f(x) = \sin^4 x$

г) $f(x) = \cos^3 x — \sin^3 x$

а) $f(x) = \sqrt{\cos 2x}$ и $f'(x) = 0$;

Пусть $u = \cos 2x$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$;

$$f'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (\cos 2x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2 \sin 2x) = -\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}};$$

$-\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}} = 0$;

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

б) $f(x) = \operatorname{tg}^2 x$ и $f'(x) = 0$;

Пусть $u = \operatorname{tg} x$, тогда $f(x) = u^2$;

$$f'(x) = (u^2)’ \cdot (\operatorname{tg} x)’ = 2u \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2 \operatorname{tg} x}{\cos^2 x};$$

$\frac{2 \operatorname{tg} x}{\cos^2 x} = 0$;

$$\operatorname{tg} x = 0;$$ $$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$

в) $f(x) = \sin^4 x$ и $f'(x) = 0$;

Пусть $u = \sin x$, тогда $f(x) = u^4$;

$$f'(x) = (u^4)’ \cdot (\sin x)’ = 4u^3 \cdot \cos x = 4 \cdot \sin^3 x \cdot \cos x = 2 \cdot \sin^2 x \cdot \sin 2x;$$

$\sin^3 x = 0$;

$$\sin x = 0;$$ $$x_1 = \arcsin x + \pi n = \pi n;$$

$\sin 2x = 0$;

$$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x_2 = \frac{\pi n}{2} \quad (2x_2 \neq x_1);$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}$.

г) $f(x) = \cos^3 x — \sin^3 x$ и $f'(x) = 0$;

Пусть $u = \cos x$ и $z = u^3$, тогда:

$$z’_x = (u^3)’ \cdot (\cos x)’ = 3u^2 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x \cdot \cos^2 x;$$

Пусть $n = \sin x$ и $t = n^3$, тогда:

$$t’_x = (n^3)’ \cdot (\sin x)’ = 3n^2 \cdot \cos x = 3 \cos x \cdot \sin^2 x;$$

$y = z — t$, значит:

$$y’ = z’_x — t’_x = -3 \sin x \cdot \cos^2 x — 3 \cos x \cdot \sin^2 x =$$ $$= -3 \sin x \cos x (\cos x + \sin x) = -\frac{3}{2} \sin 2x (\cos x + \sin x);$$

$\sin 2x = 0$;

$$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

$\cos x + \sin x = 0 \quad | : \cos x$;

$$1 + \operatorname{tg} x = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = -1;$$ $$x = \operatorname{atctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; \pi n — \frac{\pi}{4}$.

а) $f(x) = \sqrt{\cos 2x}$, найти все $x$, при которых $f'(x) = 0$

Шаг 1. Введение замены

Пусть:

$$u = \cos 2x \quad \Rightarrow \quad f(x) = \sqrt{u}$$

Применим правило производной сложной функции:

$$(f(u(x)))’ = f'(u) \cdot u'(x)$$

Шаг 2. Производная

$$(\sqrt{u})’ = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad (\cos 2x)’ = -2 \sin 2x$$ $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (-2 \sin 2x) = -\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$$

Шаг 3. Решение уравнения

$$f'(x) = -\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}} = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

$$\cos 2x \geq 0 \Rightarrow \cos(\pi n) = (-1)^n \geq 0 \Rightarrow n \text{ чётное} \Rightarrow x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi k}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) $f(x) = \tg^2 x$, найти $f'(x) = 0$

Шаг 1. Замена

Пусть:

$$u=\mathrm{tg}x\Rightarrow f(x)=u^2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2u\cdot u^{\mathrm{\prime }}=2\mathrm{tg}x\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow$$

$$u = \tg x \Rightarrow f(x) = u^2 \Rightarrow f'(x) = 2u \cdot u’ = 2 \tg x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow f'(x) = \frac{2 \tg x}{\cos^2 x}$$

Шаг 2. Решение

$$\frac{2 \tg x}{\cos^2 x} = 0 \Rightarrow \tg x = 0 \Rightarrow x = \arctg 0 + \pi n = \pi n$$

Шаг 3. Проверка области определения

Функция $\tg x$ определена при $\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$

Но $x = \pi n \Rightarrow \cos x = \pm1 \ne 0$, всё допустимо.

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

в) $f(x) = \sin^4 x$, найти $f'(x) = 0$

Шаг 1. Замена и производная

Пусть $u = \sin x \Rightarrow f(x) = u^4$

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4{\sin }^{3}x\cdot \cos x=2{\sin }^{2}x\cdot \sin 2x$$

$$f'(x) = 4 \sin^3 x \cdot \cos x = 2 \sin^2 x \cdot \sin 2x \quad (\text{через } \sin 2x = 2 \sin x \cos x)$$

Шаг 2. Решаем уравнение

$$f'(x) = 2 \sin^2 x \cdot \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin 2x = 0$$

1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$

2) $\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$

Шаг 3. Объединение решений

Множество решений:

$$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

г) $f(x) = \cos^3 x — \sin^3 x$, найти $f'(x) = 0$

Шаг 1. Производная каждой части

$$(\cos^3 x)’ = 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3 \sin x \cos^2 x$$ $$(\sin^3 x)’ = 3 \sin^2 x \cdot \cos x$$ $$f'(x) = -3 \sin x \cos^2 x — 3 \cos x \sin^2 x = -3 \sin x \cos x (\cos x + \sin x)$$ $$= -\frac{3}{2} \sin 2x (\cos x + \sin x)$$

Шаг 2. Решаем уравнение

$$f'(x) = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x + \sin x = 0$$

1) $\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$

2) $\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \tg x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2}; \quad x = \pi n — \frac{\pi}{4}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$