ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство y’ ≤ 0, если:

а) $$$y=\frac{(1-3x{)}^3}{(2-7x{)}^5}$

б) $$$y=\frac{(2x+3{)}^4}{(2-5x{)}^5}$

а) $$$y = \frac{(1 — 3x)^3}{(2 — 7x)^5}, \quad y’ \leq 0$

$$y’ = \frac{(1 — 3x)^3 \cdot (2 — 7x)^5 — (1 — 3x)^3 \cdot \left[(2 — 7x)^5\right]’}{(2 — 7x)^{10}} =$$ $$= \frac{-3 \cdot 3(1 — 3x)^2(2 — 7x)^5 — (1 — 3x)^3 \cdot (-7) \cdot 5(2 — 7x)^4}{(2 — 7x)^{10}} =$$ $$= \frac{-9(1 — 3x)^2 + 35 \cdot \frac{(1 — 3x)^3}{2 — 7x}}{(2 — 7x)^5} = \frac{(1 — 3x)^2 \left(-9 + 35 \cdot \frac{1 — 3x}{2 — 7x}\right)}{(2 — 7x)^5}$$

$$(1 — 3x)^2 = 0$$ $$1 — 3x = 0$$ $$3x = 1$$ $$x = \frac{1}{3}$$

$$-9 + 35 \cdot \frac{1 — 3x}{2 — 7x} = 0$$ $$\frac{-9(2 — 7x) + 35(1 — 3x)}{2 — 7x} = 0$$ $$\frac{-18 + 63x + 35 — 105x}{2 — 7x} = 0$$ $$\frac{17 — 42x}{2 — 7x} = 0$$ $$17 — 42x = 0$$ $$42x = 17$$ $$x = \frac{17}{42}$$

$$(2 — 7x)^5 \neq 0$$ $$2 — 7x \neq 0$$ $$7x \neq 2$$ $$x \neq \frac{2}{7}$$

$$(1 — 3x)^2 \cdot (2 — 7x)^{-5} \cdot (17 — 42x) \cdot (2 — 7x)^{-1} \leq 0$$ $$(1 — 3x)^2 \cdot (2 — 7x)^{-6} \cdot (17 — 42x) \leq 0$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{3}; \quad x \geq \frac{17}{42}$$

б) $$$y = \frac{(2x + 3)^4}{(2 — 5x)^5}, \quad y’ \leq 0$

$$y’ = \frac{(2x + 3)^4 \cdot (2 — 5x)^5 — (2x + 3)^4 \cdot \left[(2 — 5x)^5\right]’}{(2 — 5x)^{10}} =$$ $$= \frac{2 \cdot 4(2x + 3)^3(2 — 5x)^5 — (2x + 3)^4 \cdot (-5) \cdot 5(2 — 5x)^4}{(2 — 5x)^{10}} =$$ $$= \frac{8(2x + 3)^3 + \frac{25(2x + 3)^4}{2 — 5x}}{(2 — 5x)^5} = \frac{(2x + 3)^3 \left(8 + 25 \cdot \frac{2x + 3}{2 — 5x}\right)}{(2 — 5x)^5}$$

$$(2x + 3)^3 = 0$$ $$2x + 3 = 0$$ $$2x = -3$$ $$x = -1.5$$

$$8 + 25 \cdot \frac{2x + 3}{2 — 5x} = 0$$ $$\frac{8(2 — 5x) + 25(2x + 3)}{2 — 5x} = 0$$ $$\frac{16 — 40x + 50x + 75}{2 — 5x} = 0$$ $$\frac{91 + 10x}{2 — 5x} = 0$$ $$91 + 10x = 0$$ $$10x = -91$$ $$x = -9.1$$

$$(2 — 5x)^5 \neq 0$$ $$2 — 5x \neq 0$$ $$5x \neq 2$$ $$x \neq 0.4$$

$$(91 + 10x) \cdot (2 — 5x)^{-1} \cdot (2 — 5x)^{-5} \cdot (2x + 3)^3 \leq 0$$ $$(2 — 5x)^{-6} \cdot (91 + 10x) \cdot (2x + 3)^3 \leq 0$$

Ответ:

$$-9.1 \leq x \leq -1.5$$

а)

$y = \frac{(1 — 3x)^3}{(2 — 7x)^5}, \quad y’ \leq 0$

Шаг 1. Нахождение производной

Это частное двух функций: числителя $u = (1 — 3x)^3$ и знаменателя $v = (2 — 7x)^5$.

Используем правило производной частного:

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

1.1. Найдём $u’$:

$$u = (1 — 3x)^3 \Rightarrow u’ = 3 \cdot (1 — 3x)^2 \cdot (-3) = -9(1 — 3x)^2$$

1.2. Найдём $v’$:

$$v = (2 — 7x)^5 \Rightarrow v’ = 5 \cdot (2 — 7x)^4 \cdot (-7) = -35(2 — 7x)^4$$

1.3. Подставим в формулу:

$$y’ = \frac{-9(1 — 3x)^2 \cdot (2 — 7x)^5 — (1 — 3x)^3 \cdot (-35)(2 — 7x)^4}{(2 — 7x)^{10}}$$

1.4. Упростим:

Вынесем общий множитель $(1 — 3x)^2$:

$$y’ = \frac{(1 — 3x)^2 \left[ -9(2 — 7x)^5 + 35(1 — 3x)(2 — 7x)^4 \right]}{(2 — 7x)^{10}}$$

1.5. Сократим степень в знаменателе:

$$= \frac{(1 — 3x)^2 \cdot (2 — 7x)^4 \left[ -9(2 — 7x) + 35(1 — 3x) \right]}{(2 — 7x)^{10}}$$ $$= \frac{(1 — 3x)^2 \left[ -9(2 — 7x) + 35(1 — 3x) \right]}{(2 — 7x)^6}$$

Шаг 2. Исследуем знак производной $y’ \leq 0$

Производная:

$$y’ = \frac{(1 — 3x)^2 \cdot (17 — 42x)}{(2 — 7x)^6}$$

Почему $17 — 42x$?

$$-9(2 — 7x) + 35(1 — 3x) = -18 + 63x + 35 — 105x = 17 — 42x$$

Шаг 3. Найдём нули числителя

3.1. $(1 — 3x)^2 = 0 \Rightarrow 1 — 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$

3.2. $17 — 42x = 0 \Rightarrow 42x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{42}$

Шаг 4. Найдём ОДЗ (область допустимых значений)

Знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$(2 — 7x)^6 \neq 0 \Rightarrow 2 — 7x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{7}$$

Шаг 5. Исследуем знак производной

$$y’ = \frac{(1 — 3x)^2 \cdot (17 — 42x)}{(2 — 7x)^6} \leq 0$$

• $(1 — 3x)^2 \geq 0$ всегда, равно 0 при $x = \frac{1}{3}$
• $(2 — 7x)^6 > 0$, поскольку чётная степень
• Знак производной определяется только выражением $17 — 42x$

Решаем:

$$(1 — 3x)^2 \cdot (17 — 42x) \leq 0 \Rightarrow 17 — 42x \leq 0 \Rightarrow x \geq \frac{17}{42}$$

Добавляем ноль производной:

$$x = \frac{1}{3}$$

Ответ а:

$$\boxed{ x = \frac{1}{3}; \quad x \geq \frac{17}{42} }$$

б)

$y = \frac{(2x + 3)^4}{(2 — 5x)^5}, \quad y’ \leq 0$

Шаг 1. Найдём производную

$u = (2x + 3)^4$, $v = (2 — 5x)^5$

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

1.1. $u’ = 4(2x + 3)^3 \cdot 2 = 8(2x + 3)^3$

1.2. $v’ = 5(2 — 5x)^4 \cdot (-5) = -25(2 — 5x)^4$

$$y’ = \frac{8(2x + 3)^3 (2 — 5x)^5 — (2x + 3)^4 \cdot (-25)(2 — 5x)^4}{(2 — 5x)^{10}}$$

1.3. Упростим:

$$= \frac{(2x + 3)^3 \left[ 8(2 — 5x)^5 + 25(2x + 3)(2 — 5x)^4 \right]}{(2 — 5x)^{10}}$$ $$= \frac{(2x + 3)^3 (2 — 5x)^4 \left[ 8(2 — 5x) + 25(2x + 3) \right]}{(2 — 5x)^{10}}$$ $$= \frac{(2x + 3)^3 \left[ 8(2 — 5x) + 25(2x + 3) \right]}{(2 — 5x)^6}$$

Шаг 2. Упростим числитель

$$8(2 — 5x) = 16 — 40x \\ 25(2x + 3) = 50x + 75 \\ \Rightarrow 16 — 40x + 50x + 75 = 91 + 10x$$

Производная:

$$y’ = \frac{(2x + 3)^3 (91 + 10x)}{(2 — 5x)^6}$$

Шаг 3. Исследуем знак производной

Решаем:

$$(2x + 3)^3 (91 + 10x) \leq 0$$

Шаг 4. Найдём нули числителя

4.1. $2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1.5$

4.2. $91 + 10x = 0 \Rightarrow x = -9.1$

Шаг 5. ОДЗ

Знаменатель:

$$(2 — 5x)^6 \neq 0 \Rightarrow 2 — 5x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0.4$$

Шаг 6. Исследуем знак

Знаменатель положительный. Смотрим знак числителя:

$$(2x + 3)^3 \cdot (91 + 10x) \leq 0$$

Это произведение двух выражений, знак зависит от промежутков.

Точки: $x = -9.1$, $x = -1.5$

Знаки на промежутках:

• $x < -9.1 \Rightarrow (-)^3 \cdot (-) = —$
• $-9.1 < x < -1.5 \Rightarrow (-)^3 \cdot (+) = —$
• $x > -1.5 \Rightarrow (+)^3 \cdot (+) = +$

Только на промежутке $[-9.1, -1.5]$ знак отрицательный или ноль.

Ответ б:

$$\boxed{ -9.1 \leq x \leq -1.5 }$$