ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство g'(x) > 0, если:

а) $g(x)=\frac{(2x-1{)}^4}{(3x+2{)}^5}{}^{}$

б) $g(x)=\frac{(4-3x{)}^4}{(5x-4{)}^3}$

а) $g(x)=\frac{(2x-1{)}^4}{(3x+2{)}^5},g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$

1) $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x-1{)}^4(3x+2{)}^5-(2x-1{)}^4\cdot 5(3x+2{)}^4\cdot 3}{(3x+2{)}^{10}}=$

$$=\frac{4(2x-1{)}^3\cdot 2(3x+2{)}^5-15(2x-1{)}^4(3x+2{)}^4}{(3x+2{)}^{10}}=$$

$$=\frac{8(2x-1{)}^3(3x+2{)}^5-15(2x-1{)}^4(3x+2{)}^4}{(3x+2{)}^{10}}=$$$$=\frac{(2x-1{)}^3(8(3x+2{)}^5-15(2x-1)(3x+2{)}^4)}{(3x+2{)}^{10}}=\frac{(2x-1{)}^3(8-15\cdot \frac{2x-1}{3x+2})}{(3x+2{)}^5}$$

2) $(2x-1{)}^3=0\Rightarrow 2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

3) $8-15\cdot \frac{2x-1}{3x+2}=0\Rightarrow \frac{8(3x+2)-15(2x-1)}{3x+2}=0\Rightarrow \frac{24x+16-30x+15}{3x+2}=0\Rightarrow$

$\frac{31-6x}{3x+2}=0\Rightarrow x=\frac{31}{6}$

4) $3x+2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-\frac{2}{3}$

5) $(2x-1{)}^3\cdot (31-6x)\cdot (3x+2{)}^{-6}>0$

Ответ: $\frac{1}{2}<x<\frac{31}{6}$

б) $g(x)=\frac{(4-3x{)}^4}{(5x-4{)}^3},g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$

1) $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(4-3x{)}^4(5x-4{)}^3-(4-3x{)}^4\cdot 3(5x-4{)}^2\cdot 5}{(5x-4{)}^6}=$

$$=\frac{-3\cdot 4(4-3x{)}^3(5x-4{)}^3-15(4-3x{)}^4(5x-4{)}^2}{(5x-4{)}^6}=$$$$=\frac{-(4-3x{)}^3(12(5x-4{)}^3+15(4-3x)(5x-4{)}^2)}{(5x-4{)}^6}=-\frac{(4-3x{)}^3(12+15\cdot \frac{4-3x}{5x-4})}{(5x-4{)}^3}$$

2) $(4-3x{)}^3=0\Rightarrow 4-3x=0\Rightarrow x=\frac{4}{3}$

3) $12+15\cdot \frac{4-3x}{5x-4}=0\Rightarrow \frac{12(5x-4)+15(4-3x)}{5x-4}=0\Rightarrow \frac{60x-48+60-45x}{5x-4}=0\Rightarrow$

$\frac{15x+12}{5x-4}=0\Rightarrow x=-\frac{4}{5}$

4) $5x-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }\frac{4}{5}$

5) $(15x+12)(4-3x{)}^3(5x-4{)}^{-4}<0$

Ответ: $x<-\frac{4}{5},x>\frac{4}{3}$

а) $g(x)={\displaystyle \frac{(2x-1{)}^4}{(3x+2{)}^5}},g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$

Шаг 1. Производная функции $g(x)$

Имеем дробь: числитель и знаменатель зависят от $x$, применим правило производной частного:

$$g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\Rightarrow g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}$$

Здесь:

$u(x)=(2x-1{)}^4$

$v(x)=(3x+2{)}^5$

Найдём производные:

$u^{\mathrm{\prime }}(x)=4(2x-1{)}^3\cdot 2=8(2x-1{)}^3$ (по правилу цепочки)

$v^{\mathrm{\prime }}(x)=5(3x+2{)}^4\cdot 3=15(3x+2{)}^4$

Подставляем в формулу:

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{8(2x-1{)}^3(3x+2{)}^5-(2x-1{)}^4\cdot 15(3x+2{)}^4}{(3x+2{)}^{10}}$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель

Общий множитель в числителе: $(2x-1{)}^3(3x+2{)}^4$

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x-1{)}^3(3x+2{)}^4[8(3x+2)-15(2x-1)]}{(3x+2{)}^{10}}$$

Посчитаем выражение в квадратных скобках:

$$8(3x+2)=24x+16,15(2x-1)=30x-15$$

Разность:

$$24x+16-30x+15=-6x+31$$

Итак:

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x-1{)}^3(3x+2{)}^4(-6x+31)}{(3x+2{)}^{10}}$$

Сократим степень в знаменателе:

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x-1{)}^3(-6x+31)}{(3x+2{)}^6}$$

Шаг 3. Решаем неравенство $g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$

$$\frac{(2x-1{)}^3(31-6x)}{(3x+2{)}^6}>0$$

Учитываем: знаменатель всегда положителен (т.к. степень чётная), кроме точки $x=-\frac{2}{3}$, где он равен нулю.

Значит, знак производной определяется знаком числителя:

$$(2x-1{)}^3(31-6x)>0$$

Шаг 4. Найдём нули числителя и исключим нули знаменателя

Корни числителя:

$2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$

$31-6x=0\Rightarrow x=\frac{31}{6}$

Ноль знаменателя:

$3x+2=0\Rightarrow x=-\frac{2}{3}$, исключаем.

Шаг 5. Исследуем знаки на промежутках

Разбиваем числовую прямую по точкам:
$x=-\frac{2}{3}$ (запрещён), $\frac{1}{2}$, $\frac{31}{6}$

Рассматриваем интервалы:

$x<\frac{1}{2}$

• $2x-1<0\Rightarrow (2x-1{)}^3<0$
• $31-6x>0$
• произведение отрицательное

$\frac{1}{2}<x<\frac{31}{6}$

• $2x-1>0\Rightarrow (2x-1{)}^3>0$
• $31-6x>0$
• произведение положительное

$x>\frac{31}{6}$

• $(2x-1{)}^3>0$
• $31-6x<0$
• произведение отрицательное

Шаг 6. Ответ

Неравенство выполняется на:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2}<x<\frac{31}{6}}}$$

б) $g(x)={\displaystyle \frac{(4-3x{)}^4}{(5x-4{)}^3}},g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$

Шаг 1. Производная функции $g(x)$

Снова применим производную частного:

$u(x)=(4-3x{)}^4,u^{\mathrm{\prime }}(x)=4(4-3x{)}^3\cdot (-3)=-12(4-3x{)}^3$

$v(x)=(5x-4{)}^3,v^{\mathrm{\prime }}(x)=3(5x-4{)}^2\cdot 5=15(5x-4{)}^2$

Подставим:

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-12(4-3x{)}^3(5x-4{)}^3-(4-3x{)}^4\cdot 15(5x-4{)}^2}{(5x-4{)}^6}$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель

Общий множитель: $(4-3x{)}^3(5x-4{)}^2$

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(4-3x{)}^3(5x-4{)}^2[-12(5x-4)-15(4-3x)]}{(5x-4{)}^6}$$

Раскроем скобки:

$-12(5x-4)=-60x+48$

$-15(4-3x)=-60+45x$

Сложим:

$$-60x+48-60+45x=-15x-12$$

Получаем:

$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(4-3x{)}^3(-15x-12)}{(5x-4{)}^4}$$

Шаг 3. Неравенство $g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$

$$\frac{(4-3x{)}^3(-15x-12)}{(5x-4{)}^4}>0$$

Знаменатель всегда положителен (четная степень). Осталось:

$$(4-3x{)}^3(-15x-12)>0$$

Шаг 4. Найдём нули

Корни числителя:

$4-3x=0\Rightarrow x=\frac{4}{3}$

$-15x-12=0\Rightarrow x=-\frac{4}{5}$

Ноль знаменателя:

$5x-4=0\Rightarrow x=\frac{4}{5}$ — исключаем

Шаг 5. Интервалы знаков

Числовая прямая: точки $-\frac{4}{5},\frac{4}{5},\frac{4}{3}$

Интервалы:

$x<-\frac{4}{5}$

• $4-3x>0\Rightarrow (4-3x{)}^3>0$
• $-15x-12>0$
• произведение положительное

$-\frac{4}{5}<x<\frac{4}{5}$

• $(4-3x{)}^3>0$
• $-15x-12<0$
• произведение отрицательное

$\frac{4}{5}<x<\frac{4}{3}$

• $(4-3x{)}^3>0$
• $-15x-12<0$
• произведение отрицательное

$x>\frac{4}{3}$

• $(4-3x{)}^3<0$
• $-15x-12<0$
• произведение положительное

Шаг 6. Ответ

Неравенство выполняется при:

$$\boxed{{\displaystyle x<-\frac{4}{5}\text{или}x>\frac{4}{3}}}$$