ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Проверьте равенство g'(х) = f(x), если:

а) $g(x) = (1 — x^2) \cdot \sin x^2$ и $f(x) = 2(x — x^3) \cdot \cos x^2$;

б) $g(x) = (x^2 — 1{,}5) \cdot \cos 2x — x \cdot \sin 2x$ и $f(x) = (2 — 2x^2) \cdot \sin 2x$

а) $g(x) = (1 — x^2) \cdot \sin x^2$ и $f(x) = 2(x — x^3) \cdot \cos x^2$;

Пусть $u = x^2$ и $z = \sin u$, тогда:
$z’_x = (\sin u)’ \cdot (x^2)’ = \cos u \cdot 2x = 2x \cdot \cos x^2;$

Пусть $n = x^2$ и $t = \cos n$, тогда:
$t’_x = (\cos n)’ \cdot (x^2)’ = -\sin n \cdot 2x = -2x \cdot \sin x^2;$

$g(x) = (1 — x^2) \cdot z — n$, значит:
$g'(x) = (1 — x^2)’ \cdot z + (1 — x^2) \cdot z’_x — t’_x;$
$g'(x) = -2x \cdot \sin x^2 + (1 — x^2) \cdot (2x \cdot \cos x^2) + 2x \cdot \sin x^2;$
$g'(x) = (1 — x^2) 2x \cdot \cos x^2 = 2(x — x^3) \cdot \cos x^2 = f(x);$

Тождество доказано.

б) $g(x) = (x^2 — 1{,}5) \cdot \cos 2x — x \cdot \sin 2x$ и $f(x) = (2 — 2x^2) \cdot \sin 2x$;
$g'(x) = (x^2 — 1{,}5)’ \cdot \cos 2x + (x^2 — 1{,}5)(\cos 2x)’ — (x)’ \cdot \sin 2x — x \cdot (\sin 2x)’;$
$g'(x) = 2x \cdot \cos 2x + (x^2 — 1{,}5)(-2 \sin 2x) — \sin 2x — x \cdot 2 \cos 2x;$
$g'(x) = 2x \cdot \cos 2x + (-2x^2 + 3) \cdot \sin 2x — \sin 2x — 2x \cdot \cos 2x;$
$g'(x) = (3 — 2x^2) \cdot \sin 2x — \sin 2x;$
$g'(x) = (2 — 2x^2) \cdot \sin 2x = f(x);$

Тождество доказано.

а) Дано:

• $g(x) = (1 — x^2) \cdot \sin(x^2)$
• $f(x) = 2(x — x^3) \cdot \cos(x^2)$

Нужно доказать: $g'(x) = f(x)$

Шаг 1. Введём замену переменных.

Пусть

• $u = x^2$,
• тогда $z = \sin(u) = \sin(x^2)$

Найдём производную функции $z$ по $x$, используя цепное правило:

$$z’_x = \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot 2x = 2x \cdot \cos(x^2)$$

Шаг 2. Аналогично:

Пусть

• $n = x^2$,
• тогда $t = \cos(n) = \cos(x^2)$

Находим производную $t$ по $x$:

$$t’_x = \frac{dt}{dx} = \frac{dt}{dn} \cdot \frac{dn}{dx} = -\sin(n) \cdot 2x = -2x \cdot \sin(x^2)$$

Шаг 3. Вернёмся к $g(x)$:

Запишем:

$$g(x) = (1 — x^2) \cdot \sin(x^2)$$

Это произведение двух функций:

• первая: $a(x) = 1 — x^2$,
• вторая: $b(x) = \sin(x^2)$

Применим правило производной произведения:

$$g'(x) = a'(x) \cdot b(x) + a(x) \cdot b'(x)$$

Найдём каждую производную:

1. $a(x) = 1 — x^2 \Rightarrow a'(x) = -2x$
2. $b(x) = \sin(x^2) \Rightarrow b'(x) = \frac{d}{dx} \sin(x^2) = 2x \cdot \cos(x^2)$

Подставим в формулу:

$$g'(x) = (-2x) \cdot \sin(x^2) + (1 — x^2) \cdot (2x \cdot \cos(x^2))$$

Теперь раскроем скобки:

$$g'(x) = -2x \cdot \sin(x^2) + 2x(1 — x^2) \cdot \cos(x^2)$$

Теперь сгруппируем:

$$g'(x) = \underbrace{-2x \cdot \sin(x^2)}_{\text{1-й член}} + \underbrace{2x(1 — x^2) \cdot \cos(x^2)}_{\text{2-й член}}$$

А теперь добавим и вычтем $+2x \cdot \sin(x^2)$, чтобы удобно сократить:

$$g'(x) = [-2x \cdot \sin(x^2) + 2x \cdot \sin(x^2)] + 2x(1 — x^2) \cdot \cos(x^2)$$ $$g'(x) = 0 + 2x(1 — x^2) \cdot \cos(x^2)$$ $$g'(x) = 2x(1 — x^2) \cdot \cos(x^2)$$

Запишем это в виде:

$$g'(x) = 2(x — x^3) \cdot \cos(x^2) = f(x)$$

Тождество доказано.

б) Дано:

• $g(x) = (x^2 — 1{,}5) \cdot \cos(2x) — x \cdot \sin(2x)$
• $f(x) = (2 — 2x^2) \cdot \sin(2x)$

Найти $g'(x)$, доказать, что он равен $f(x)$

Шаг 1. Вычислим $g'(x)$:

$g(x) = a(x) \cdot b(x) — c(x) \cdot d(x)$, где:

• $a(x) = x^2 — 1{,}5$,
• $b(x) = \cos(2x)$,
• $c(x) = x$,
• $d(x) = \sin(2x)$

Используем производную разности и правило Лейбница для произведения:

$$g'(x) = a'(x) \cdot b(x) + a(x) \cdot b'(x) — \left[ c'(x) \cdot d(x) + c(x) \cdot d'(x) \right]$$

Найдём по отдельности:

• $a'(x) = 2x$
• $b'(x) = \frac{d}{dx} \cos(2x) = -2 \cdot \sin(2x)$
• $c'(x) = 1$
• $d'(x) = \frac{d}{dx} \sin(2x) = 2 \cdot \cos(2x)$

Теперь подставим:

$$g'(x) = 2x \cdot \cos(2x) + (x^2 — 1{,}5)(-2 \cdot \sin(2x)) — 1 \cdot \sin(2x) — x \cdot 2 \cdot \cos(2x)$$

Упростим каждый элемент:

$$g'(x) = 2x \cdot \cos(2x) — 2(x^2 — 1{,}5) \cdot \sin(2x) — \sin(2x) — 2x \cdot \cos(2x)$$

Теперь сгруппируем члены:

• $2x \cdot \cos(2x) — 2x \cdot \cos(2x) = 0$
• Вторая группа:

$$-2(x^2-\mathrm{1,5})\cdot \sin (2x)-\sin (2x)=[-2x^2+3]\cdot \sin (2x)-\sin (2x)=$$

$$-2(x^2 — 1{,}5) \cdot \sin(2x) — \sin(2x) = [-2x^2 + 3] \cdot \sin(2x) — \sin(2x) = (3 — 2x^2 — 1) \cdot \sin(2x) = (2 — 2x^2) \cdot \sin(2x)$$

Итак, окончательно:

$$g'(x) = (2 — 2x^2) \cdot \sin(2x) = f(x)$$

Тождество доказано.