ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f(x) = g'(x), если:

а) $f(x) = \sin(2x — 3)$ и $g(x) = \cos(2x — 3)$;

б) $f(x) = \sqrt{3x — 10}$ и $g(x) = \sqrt{14 + 6x}$

а) $f(x) = \sin(2x — 3)$ и $g(x) = \cos(2x — 3)$;

$f'(x) = (\sin(2x — 3))’ = 2\cos(2x — 3)$;

$g'(x) = (\cos(2x — 3))’ = -2\sin(2x — 3)$;

$f'(x) = g'(x)$:

$$2\cos(2x — 3) = -2\sin(2x — 3);$$ $$\cos(2x — 3) + \sin(2x — 3) = 0 \quad | : \cos(2x — 3);$$ $$1 + \operatorname{tg}(2x — 3) = 0;$$ $$\operatorname{tg}(2x — 3) = -1;$$ $$2x — 3 = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$2x = -\frac{\pi + 3 \cdot 4}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{12 — \pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

б) $f(x) = \sqrt{3x — 10}$ и $g(x) = \sqrt{14 + 6x}$;

$f'(x) = (\sqrt{3x — 10})’ = \frac{3}{2\sqrt{3x — 10}}$;

$g'(x) = (\sqrt{14 + 6x})’ = \frac{6}{2\sqrt{14 + 6x}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$;

$f'(x) = g'(x)$:

$$\frac{3}{2\sqrt{3x — 10}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}};$$ $$2\sqrt{3x — 10} = \sqrt{14 + 6x};$$ $$14 + 6x = 4(3x — 10);$$ $$14 + 6x = 12x — 40;$$ $$12x — 6x = 14 + 40;$$ $$6x = 54, \text{отсюда } x = 9;$$

Ответ: 9.

а)

Даны функции:

$$f(x) = \sin(2x — 3), \quad g(x) = \cos(2x — 3)$$

1) Найдём производную функции $f(x)$:

Применим правило производной сложной функции:
Если $f(x) = \sin(u(x))$, то

$$f'(x) = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$$

Здесь:

• $u(x) = 2x — 3$
• $u'(x) = 2$

Тогда:

$$f'(x) = \cos(2x — 3) \cdot 2 = 2\cos(2x — 3)$$

2) Найдём производную функции $g(x)$:

Аналогично, если $g(x) = \cos(u(x))$, то

$$g'(x) = -\sin(u(x)) \cdot u'(x)$$

Здесь:

• $u(x) = 2x — 3$
• $u'(x) = 2$

Тогда:

$$g'(x) = -\sin(2x — 3) \cdot 2 = -2\sin(2x — 3)$$

3) Найдём такие значения $x$, при которых $f'(x) = g'(x)$:

Подставим найденные производные:

$$2\cos(2x — 3) = -2\sin(2x — 3)$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$\cos(2x — 3) = -\sin(2x — 3)$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$\cos(2x — 3) + \sin(2x — 3) = 0$$

Разделим обе части на $\cos(2x — 3)$ (если $\cos(2x — 3) \ne 0$):

$$1 + \tan(2x — 3) = 0$$

Отсюда:

$$\tan(2x — 3) = -1$$

Решим уравнение $\tan(2x — 3) = -1$:

Вспоминаем:

$$\tan(\theta) = -1 \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Следовательно:

$$2x — 3 = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Решим относительно $x$:

Шаг 1: перенесём 3 вправо:

$$2x = -\frac{\pi}{4} + 3 + \pi n$$

Шаг 2: Приведём число 3 к дроби с общим знаменателем:

$$3 = \frac{12}{4}, \quad \Rightarrow 2x = \frac{12 — \pi}{4} + \pi n$$

Шаг 3: Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{12 — \pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

Даны функции:

$$f(x) = \sqrt{3x — 10}, \quad g(x) = \sqrt{14 + 6x}$$

1) Найдём производную функции $f(x)$:

Используем правило:

$$\frac{d}{dx} \sqrt{u(x)} = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

Здесь:

• $u(x) = 3x — 10$
• $u'(x) = 3$

Тогда:

$$f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x — 10}}$$

2) Найдём производную функции $g(x)$:

Аналогично, здесь:

• $u(x) = 14 + 6x$
• $u'(x) = 6$

$$g'(x) = \frac{6}{2\sqrt{14 + 6x}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$$

3) Найдём $x$, при котором $f'(x) = g'(x)$:

$$\frac{3}{2\sqrt{3x — 10}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$$

Сократим обе части на 3:

$$\frac{1}{2\sqrt{3x — 10}} = \frac{1}{\sqrt{14 + 6x}}$$

Возьмём обратные значения:

$$2\sqrt{3x — 10} = \sqrt{14 + 6x}$$

Теперь возведём обе части в квадрат:

$$(2\sqrt{3x — 10})^2 = (\sqrt{14 + 6x})^2$$ $$4(3x — 10) = 14 + 6x$$

Раскроем скобки:

$$12x — 40 = 14 + 6x$$

Перенесём все члены с $x$ влево, свободные — вправо:

$$12x — 6x = 14 + 40 \Rightarrow 6x = 54 \Rightarrow x = 9$$

Ответ:

$$\boxed{9}$$