ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции у = h(x) образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $\alpha$:

а) $h(x) = 2 \cdot \sqrt{2x — 5}$ и $\alpha = 60^\circ$;

б) $h(x) = \sin \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right)$ и $\alpha = 0^\circ$

а) $h(x) = 2 \cdot \sqrt{2x — 5}$ и $\alpha = 60^\circ$;

$\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$;

$h'(x) = 2 (\sqrt{2x — 5})’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x — 5}} = \frac{1}{\sqrt{2x — 5}}$;

$h'(x) = \operatorname{tg} \alpha$:

$$\frac{1}{\sqrt{2x — 5}} = \sqrt{3};$$ $$\sqrt{2x — 5} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$2x — 5 = \frac{1}{3} \quad | \cdot 3;$$ $$6x — 15 = 1;$$ $$6x = 16, \text{ отсюда } x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}.$$

Ответ: $2 \frac{2}{3}$.

б) $h(x) = \sin \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right)$ и $\alpha = 0^\circ$;

$\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} 0 = 0$;

$h'(x) = \left( \sin \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right) \right)’ = 4 \cos \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right)$;

$h'(x) = \operatorname{tg} \alpha$:

$$4 \cos \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$\cos \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$4x — \frac{\pi}{3} = \pm \arccos 0 + 2\pi n;$$ $$4x — \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$4x = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4};$$

а) $h(x) = 2 \cdot \sqrt{2x — 5}$ и $\alpha = 60^\circ$

Определяем тангенс угла $\alpha$:

Нам дан угол $\alpha = 60^\circ$. Чтобы найти $\operatorname{tg} \alpha$, воспользуемся известным значением для тангенса угла $60^\circ$:

$$\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$$

Таким образом, $\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$.

Находим производную функции $h(x)$:

Функция $h(x) = 2 \cdot \sqrt{2x — 5}$ является сложной функцией. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования произведений и правилом цепочки. Первоначально применяем правило для дифференцирования функции $\sqrt{2x — 5}$.

Пусть:

$$u(x) = 2x — 5 \quad \text{(внутренняя функция)}.$$

Тогда:

$$h(x) = 2 \cdot \sqrt{u(x)} = 2 \cdot (u(x))^{1/2}.$$

Дифференцируем по $x$:

$$h'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} (u(x))^{-1/2} \cdot u'(x).$$

Где:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}(2x — 5) = 2.$$

Подставляем в выражение для производной:

$$h'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} (2x — 5)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x — 5}}.$$

Приравниваем производную $h'(x)$ к тангенсу угла $\alpha$:

Теперь, согласно условию задачи, производная функции $h'(x)$ должна быть равна тангенсу угла $\alpha$, то есть:

$$h'(x) = \operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}.$$

Таким образом, получаем уравнение:

$$\frac{1}{\sqrt{2x — 5}} = \sqrt{3}.$$

Решаем полученное уравнение:

Умножим обе стороны уравнения на $\sqrt{2x — 5}$:

$$1 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2x — 5}.$$

Теперь разделим обе стороны на $\sqrt{3}$:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{2x — 5}.$$

Для удобства умножим обе стороны на $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{2x — 5} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$2x — 5 = \frac{1}{3}.$$

Решаем уравнение относительно $x$:

Прибавим 5 к обеим сторонам:

$$2x = 5 + \frac{1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}.$$

Теперь разделим обе стороны на 2:

$$x = \frac{\frac{16}{3}}{2} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.$$

Таким образом, решение уравнения:

$$x = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}.$$

Ответ: $x = 2 \frac{2}{3}$.

б) $h(x) = \sin \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right)$ и $\alpha = 0^\circ$

Определяем тангенс угла $\alpha$:

Нам дан угол $\alpha = 0^\circ$. Для этого находим тангенс угла $\alpha = 0^\circ$:

$$\operatorname{tg} 0^\circ = 0.$$

Таким образом, $\operatorname{tg} \alpha = 0$.

Находим производную функции $h(x)$:

Функция $h(x) = \sin \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right)$ является сложной, и нам нужно применить правило дифференцирования составной функции (правило цепочки). Сначала найдем производную от функции синуса, а затем умножим её на производную от выражения $4x — \frac{\pi}{3}$.

Дифференцируем:

$$h'(x) = \cos \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right).$$

Поскольку производная от $4x — \frac{\pi}{3}$ равна 4, то:

$$h'(x) = 4 \cos \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right).$$

Приравниваем производную $h'(x)$ к тангенсу угла $\alpha$:

Согласно условию задачи, производная $h'(x)$ должна быть равна тангенсу угла $\alpha = 0^\circ$, то есть:

$$h'(x) = \operatorname{tg} \alpha = 0.$$

Таким образом, получаем уравнение:

$$4 \cos \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right) = 0.$$

Решаем уравнение:

Разделим обе стороны уравнения на 4:

$$\cos \left( 4x — \frac{\pi}{3} \right) = 0.$$

Мы знаем, что $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом, получаем:

$$4x — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Решаем уравнение относительно $x$:

Для нахождения $x$ сначала добавим $\frac{\pi}{3}$ к обеим сторонам:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Приведем к общему знаменателю (6):

$$4x = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n.$$

Разделим обе стороны на 4:

$$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}.$$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n$ — целое число.

Таким образом, решения задачи:

Для части (а): $x = 2 \frac{2}{3}$.

Для части (б): $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n$ — целое число.