ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \operatorname{tg}\left(5x — \frac{\pi}{4}\right);$

б) $y = \sqrt{50 + 0,2x};$

в) $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} — 4x\right);$

г) $y=\sqrt{4-9x}$

а) $y = \operatorname{tg}\left(5x — \frac{\pi}{4}\right);$
Пусть $u = 5x — \frac{\pi}{4}$, тогда $y = \operatorname{tg} u;$

$$y’ = (\operatorname{tg} u)’ \cdot \left(5x — \frac{\pi}{4}\right)’ = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot 5 = \frac{5}{\cos^2 \left(5x — \frac{\pi}{4}\right)};$$

б) $y = \sqrt{50 + 0,2x};$
Пусть $u = 50 + 0,2x$, тогда $y = \sqrt{u};$

$$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (50 + 0,2x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 0,2 = \frac{1}{10\sqrt{50 + 0,2x}};$$

в) $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} — 4x\right);$
Пусть $u = \frac{\pi}{6} — 4x$, тогда $y = \operatorname{ctg} u;$

$$y’ = (\operatorname{ctg} u)’ \cdot \left(\frac{\pi}{6} — 4x\right)’ = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot (-4) = \frac{4}{\sin^2 \left(\frac{\pi}{6} — 4x\right)};$$

г) $y = \sqrt{4 — 9x};$
Пусть $u = 4 — 9x$, тогда $y = \sqrt{u};$

$$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (4 — 9x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-9) = -\frac{9}{2\sqrt{4 — 9x}}$$

а)

Найти производную:

$$y = \operatorname{tg}\left(5x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 5x — \frac{\pi}{4}$$

Тогда:

$$y = \operatorname{tg}(u)$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\operatorname{tg} u) = \frac{1}{\cos^2 u}$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) = 5$$

Шаг 4: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot 5 = \frac{5}{\cos^2 u}$$

Шаг 5: Подставляем $u = 5x — \frac{\pi}{4}$:

$$y’ = \frac{5}{\cos^2\left(5x — \frac{\pi}{4}\right)}$$

б)

Найти производную:

$$y = \sqrt{50 + 0{,}2x}$$

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 50 + 0{,}2x$$

Тогда:

$$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(50 + 0{,}2x) = 0{,}2$$

Шаг 4: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 0{,}2 = \frac{0{,}2}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{10\sqrt{u}}$$

Шаг 5: Подставляем $u = 50 + 0{,}2x$:

$$y’ = \frac{1}{10\sqrt{50 + 0{,}2x}}$$

в)

Найти производную:

$$y = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} — 4x\right)$$

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = \frac{\pi}{6} — 4x$$

Тогда:

$$y = \operatorname{ctg}(u)$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\operatorname{ctg} u) = -\frac{1}{\sin^2 u}$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{6} — 4x\right) = -4$$

Шаг 4: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot (-4) = \frac{4}{\sin^2 u}$$

Шаг 5: Подставляем $u = \frac{\pi}{6} — 4x$:

$$y’ = \frac{4}{\sin^2\left(\frac{\pi}{6} — 4x\right)}$$

г)

Найти производную:

$$y = \sqrt{4 — 9x}$$

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 4 — 9x$$

Тогда:

$$y = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Шаг 2: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 3: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = -9$$

Шаг 4: Применим правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-9) = -\frac{9}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 5: Подставим $u = 4 — 9x$:

$$y’ = -\frac{9}{2\sqrt{4 — 9x}}$$