ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известна производная функции у = f′(x). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x):

а) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=6(2x-1{)}^2$

б) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-20(4-5x{)}^3$

а) $f'(x) = 6(2x-1)^2 = 3(2x-1)^2 \cdot 2 + 0 = (u^3)’ \cdot (2x-1)’ + C’$;
Ответ: $f(x) = (2x-1)^3 + C$.

б) $f'(x) = -20(4-5x)^3 = 4(4-5x)^3 \cdot (-5) + 0 = (u^4)’ \cdot (4-5x)’ + C’$;
Ответ: $f(x) = (4-5x)^4 + C$.

Часть а:

Нам дано выражение для производной функции $f'(x) = 6(2x — 1)^2$.

Шаг 1: Определим форму функции.

Мы видим, что производная $f'(x) = 6(2x — 1)^2$ имеет вид функции, которая является производной некоторой функции от $(2x — 1)$. Мы будем использовать метод цепочки для нахождения первообразной. Это позволяет нам применить формулу производной сложной функции.

Напомним, что производная функции вида $u(x)^n$, где $u(x)$ — это внутренняя функция, а $n$ — степень, имеет вид:

$$\frac{d}{dx}[u(x)^n] = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x).$$

Шаг 2: Применим метод цепочки.

Для $f'(x) = 6(2x — 1)^2$ нам нужно найти функцию, от которой эта производная является. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u(x) = 2x — 1.$$

Тогда $f(x)$ будет иметь вид:

$$f(x) = u(x)^3 = (2x — 1)^3.$$

Шаг 3: Проверим решение.

Теперь, чтобы убедиться в правильности, возьмем производную функции $f(x) = (2x — 1)^3$. Применяя правило дифференцирования сложной функции:

$$f'(x) = 3(2x — 1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x — 1) = 3(2x — 1)^2 \cdot 2 = 6(2x — 1)^2.$$

Это именно та производная, которая дана в задаче. Следовательно, мы правильно нашли первообразную.

Ответ: $f(x) = (2x — 1)^3 + C$, где $C$ — константа интегрирования.

Часть б:

Нам дано выражение для производной $f'(x) = -20(4 — 5x)^3$.

Шаг 1: Определим форму функции.

Аналогично предыдущему примеру, рассмотрим функцию вида $f'(x) = -20(4 — 5x)^3$. Мы видим, что это производная от функции, в которой также используется метод цепочки. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u(x) = 4 — 5x.$$

Тогда $f(x)$ будет иметь вид:

$$f(x) = -\frac{1}{5} \cdot u(x)^4 = -\frac{1}{5} \cdot (4 — 5x)^4.$$

Шаг 2: Применим метод цепочки.

Теперь рассмотрим, как найти первообразную для выражения $-20(4 — 5x)^3$. Мы можем применить метод цепочки для вычисления производной функции вида $u(x)^4$. Для этого:

$$\frac{d}{dx} \left[ (4 — 5x)^4 \right] = 4(4 — 5x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(4 — 5x).$$

Производная внутренней функции $\frac{d}{dx}(4 — 5x) = -5$. Таким образом:

$$\frac{d}{dx} \left[ (4 — 5x)^4 \right] = 4(4 — 5x)^3 \cdot (-5) = -20(4 — 5x)^3.$$

Это точно соответствует нашей исходной производной. Следовательно, первообразная будет:

$$f(x) = (4 — 5x)^4 + C.$$

Ответ: $f(x) = (4 — 5x)^4 + C$, где $C$ — константа интегрирования.

Итог:

1. $f(x) = (2x — 1)^3 + C$
2. $f(x) = (4 — 5x)^4 + C$