ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известна производная функции у = f′(x). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x):

а) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{(2x+3{)}^2}$

б) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$

а) $f'(x) = \frac{2}{(2x+3)^2} = \frac{1}{(2x+3)^2} \cdot 2 + 0 = \left(-\frac{1}{u}\right)’ \cdot (2x+3)’ + C’;$

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2x+3} + C.$

б) $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}} = \frac{1}{2\sqrt{5x-7}} \cdot 5 + 0 = (\sqrt{u})’ \cdot (5x-7)’ + C’;$

Ответ: $\sqrt{5x-7} + C.$

а) $f'(x) = \frac{2}{(2x+3)^2}$

Нам нужно найти первообразную (интеграл) функции $f'(x) = \frac{2}{(2x+3)^2}$.

Шаг 1: Преобразование выражения

Посмотрим на выражение для производной:

$$f'(x) = \frac{2}{(2x+3)^2}.$$

Для нахождения первообразной проще будет сделать замену переменной.

Предположим, что:

$$u = 2x + 3.$$

Тогда:

$$\frac{du}{dx} = 2 \quad \text{или} \quad dx = \frac{du}{2}.$$

Шаг 2: Подстановка в выражение для $f'(x)$

Теперь подставим это в выражение для $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{2}{(2x+3)^2} = \frac{2}{u^2}.$$

Вместо $dx$ подставляем $\frac{du}{2}$, и получается:

$$f'(x) \, dx = \frac{2}{u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{u^2} \, du.$$

Шаг 3: Интегрирование

Теперь мы можем найти первообразную:

$$\int \frac{1}{u^2} \, du.$$

Интеграл от $\frac{1}{u^2}$ — это стандартная форма, и он равен:

$$\int \frac{1}{u^2} \, du = -\frac{1}{u}.$$

Шаг 4: Возвращаемся к переменной $x$

После того как мы нашли первообразную по переменной $u$, возвращаемся к исходной переменной $x$:

$$-\frac{1}{u} = -\frac{1}{2x+3}.$$

Шаг 5: Не забываем про константу интегрирования

Так как мы искали первообразную, нужно добавить константу интегрирования $C$:

$$f(x) = -\frac{1}{2x+3} + C.$$

Ответ:

$$f(x) = -\frac{1}{2x+3} + C.$$

б) $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$

Теперь найдем первообразную для функции:

$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}.$$

Шаг 1: Преобразование выражения

Посмотрим на выражение для производной:

$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}.$$

Для упрощения вычислений используем замену переменной.

Предположим, что:

$$u = 5x — 7.$$

Тогда:

$$\frac{du}{dx} = 5 \quad \text{или} \quad dx = \frac{du}{5}.$$

Шаг 2: Подстановка в выражение для $f'(x)$

Теперь подставим эту замену в выражение для производной:

$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}} = \frac{5}{2\sqrt{u}}.$$

Вместо $dx$ подставляем $\frac{du}{5}$:

$$f'(x) \, dx = \frac{5}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du.$$

Шаг 3: Интегрирование

Теперь находим первообразную:

$$\int \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du.$$

Интеграл от $\frac{1}{\sqrt{u}}$ — это стандартная форма:

$$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = 2\sqrt{u}.$$

Поэтому:

$$\int \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du = \sqrt{u}.$$

Шаг 4: Возвращаемся к переменной $x$

Теперь возвращаемся к переменной $x$, используя $u = 5x — 7$:

$$\sqrt{u} = \sqrt{5x-7}.$$

Шаг 5: Не забываем про константу интегрирования

Так как мы искали первообразную, нужно добавить константу интегрирования $C$:

$$f(x) = \sqrt{5x-7} + C.$$

Ответ:

$$f(x) = \sqrt{5x-7} + C.$$