ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известна производная функции у = f′(x). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x):

а) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin (3x-\frac{\pi }{3})$

б) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4}{{\cos }^2(5x-1)}$

а) $f'(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) \cdot 3 + 0 = -\frac{1}{3} (\cos u)’ \left(3x — \frac{\pi}{3}\right)’ + C’$;
Ответ: $-\frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) + C$.

б) $f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x — 1)} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\cos^2(5x — 1)} \cdot 5 + 0 = \frac{4}{5} (\tg u)’ (5x — 1)’ + C’$;
Ответ: $\frac{4}{5} \tg(5x — 1) + C$.

а)

Дано:

$$f'(x) = \sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right)$$

Цель: Найти интеграл $f(x)$, т.е. найти первообразную для $f'(x)$.

Шаг 1: Вспоминаем стандартные формулы

Из основного свойства дифференцирования можно вспомнить, что производная синуса имеет вид:

$$\frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot u’$$

где $u = 3x — \frac{\pi}{3}$.

Шаг 2: Интегрирование правой части

Теперь нам нужно найти интеграл от функции $\sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right)$. Для этого используем:

$$\int \sin(u) \, dx = -\cos(u) + C$$

где $u = 3x — \frac{\pi}{3}$, и $du = 3 \, dx$, то есть $dx = \frac{du}{3}$.

Шаг 3: Применяем подстановку

Подставим выражение для $u$ и учтем, что при дифференцировании получим коэффициент 3 (он будет делить на 3 при интегрировании):

$$\int \sin\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) \, dx = -\frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) + C$$

Ответ:

$$f(x) = -\frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) + C$$

б)

Дано:

$$f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x — 1)}$$

Цель: Найти первообразную для $f'(x)$.

Шаг 1: Используем тригонометрическую идентичность

Мы знаем, что:

$$\frac{d}{dx} \tan(u) = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u’$$

где $u = 5x — 1$.

Шаг 2: Интегрирование правой части

Теперь мы видим, что:

$$f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x — 1)}$$

Можно вынести константу 4 из под интеграла, и применить интеграл для $\frac{1}{\cos^2(u)}$, который является производной $\tan(u)$:

$$\int \frac{1}{\cos^2(u)} \, dx = \tan(u) + C$$

где $u = 5x — 1$, и $du = 5 \, dx$, то есть $dx = \frac{du}{5}$.

Шаг 3: Применяем подстановку

Теперь подставим все это в исходное выражение:

$$\int \frac{4}{\cos^2(5x — 1)} \, dx = 4 \cdot \frac{1}{5} \tan(5x — 1) + C = \frac{4}{5} \tan(5x — 1) + C$$

Ответ:

$$f(x) = \frac{4}{5} \tan(5x — 1) + C$$

Итоговые ответы:

• Часть а: $f(x) = -\frac{1}{3} \cos\left(3x — \frac{\pi}{3}\right) + C$
• Часть б: $f(x) = \frac{4}{5} \tan(5x — 1) + C$