ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \arcsin 3x$;

б) $y = \arctg x^2$;

в) $y = (\arccos x)^3$;

г) $y = \arctg \sqrt{x}$

а) $y = \arcsin 3x$;

Пусть $u = 3x$, тогда $y = \arcsin u$;

$y’ = (\arcsin u)’ \cdot (3x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1 — 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 — 9}}$;

б) $y = \arctg x^2$;

Пусть $u = x^2$, тогда $y = \arctg u$;

$y’ = (\arctg u)’ \cdot (x^2)’ = \frac{1}{1 + u^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4}$;

в) $y = (\arccos x)^3$;

Пусть $u = \arccos x$, тогда $y = u^3$;

$y’ = (u^3)’ \cdot (\arccos x) = 3u^2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} \right) = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1 — x^2}}$;

г) $y = \arctg \sqrt{x}$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \arctg u$;

$y’ = (\arctg u)’ \cdot (\sqrt{x})’ = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$

а) $y = \arcsin(3x)$

Определение функции:

$$y = \arcsin(3x)$$

Здесь мы имеем функцию $y$, которая выражена через обратную функцию синуса.

Применение цепного правила:
Мы видим, что у нас есть композиция функций: $\arcsin(u)$, где $u = 3x$. Для нахождения производной нужно воспользоваться цепным правилом, которое гласит:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Таким образом, нам нужно найти производную функции $\arcsin(u)$ и умножить её на производную от $u = 3x$.

Нахождение производной от $\arcsin(u)$:
Производная от $\arcsin(u)$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}$$

Подставляем в это уравнение нашу функцию $u = 3x$:

$$\frac{d}{dx} \arcsin(3x) = \frac{1}{\sqrt{1 — (3x)^2}} \cdot \frac{d}{dx} (3x)$$

Производная от $3x$:
Производная от $3x$ по $x$ равна $3$.

Записываем итоговую производную:

$$y’ = \frac{1}{\sqrt{1 — (3x)^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1 — 9x^2}}$$

б) $y = \arctg(x^2)$

Определение функции:

$$y = \arctg(x^2)$$

Здесь у нас функция $y$, которая выражена через обратную функцию тангенса.

Применение цепного правила:
Мы снова имеем композицию функций, $\arctg(u)$, где $u = x^2$. Поэтому, для нахождения производной, нужно использовать цепное правило:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Нам нужно найти производную функции $\arctg(u)$ и умножить её на производную от $u = x^2$.

Нахождение производной от $\arctg(u)$:
Производная от $\arctg(u)$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \arctg(u) = \frac{1}{1 + u^2}$$

Подставляем в это уравнение нашу функцию $u = x^2$:

$$\frac{d}{dx} \arctg(x^2) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2)$$

Производная от $x^2$:
Производная от $x^2$ по $x$ равна $2x$.

Записываем итоговую производную:

$$y’ = \frac{1}{1 + x^4} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4}$$

в) $y = (\arccos x)^3$

Определение функции:

$$y = (\arccos(x))^3$$

Здесь мы имеем функцию, которая является кубом функции $\arccos(x)$.

Применение цепного правила:
Это также композиция функций, где $u = \arccos(x)$ и $y = u^3$. Для нахождения производной воспользуемся цепным правилом:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Нам нужно найти производную от $u^3$, а затем умножить её на производную от $\arccos(x)$.

Нахождение производной от $u^3$:
Производная от $u^3$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} u^3 = 3u^2$$

Таким образом, производная функции $y = u^3$ будет:

$$y’ = 3u^2 \cdot \frac{d}{dx} \arccos(x)$$

Производная от $\arccos(x)$:
Производная от $\arccos(x)$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}}$$

Записываем итоговую производную:
Подставляем $u = \arccos(x)$ в итоговое выражение:

$$y’ = 3(\arccos(x))^2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} \right)$$

Таким образом:

$$y’ = -\frac{3(\arccos(x))^2}{\sqrt{1 — x^2}}$$

г) $y = \arctg(\sqrt{x})$

Определение функции:

$$y = \arctg(\sqrt{x})$$

У нас снова функция, выраженная через обратную функцию тангенса.

Применение цепного правила:
Мы имеем композицию функций, где $u = \sqrt{x}$ и $y = \arctg(u)$. Используем цепное правило для нахождения производной:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Нам нужно найти производную от $\arctg(u)$ и умножить её на производную от $u = \sqrt{x}$.

Нахождение производной от $\arctg(u)$:
Производная от $\arctg(u)$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \arctg(u) = \frac{1}{1 + u^2}$$

Подставляем в это уравнение нашу функцию $u = \sqrt{x}$:

$$\frac{d}{dx} \arctg(\sqrt{x}) = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x})$$

Производная от $\sqrt{x}$:
Производная от $\sqrt{x}$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Записываем итоговую производную:
Подставляем всё в итоговое выражение:

$$y’ = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$$