ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

а) $y = (\arccos x)^3$ и $x_0 = 0$;

б) $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctg \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}$ и $x_0 = -1$;

в) $y = \arcsin \sqrt{x}$ и $x_0 = \frac{1}{2}$;

г) $y = \arccos \frac{2 — x}{x \sqrt{2}}$ и $x_0 = 1$

а) $y = (\arccos x)^3$ и $x_0 = 0$;

Пусть $u = \arccos x$, тогда $y = u^3$;

$$y’ = (u^3)’ \cdot (\arccos x)’ = 3u^2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} \right) = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1 — x^2}};$$ $$y'(x_0) = -\frac{3(\arccos 0)^2}{\sqrt{1 — 0^2}} = -3 \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 : 1 = -\frac{3\pi^2}{4};$$

б) $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctg \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}$ и $x_0 = -1$;

Пусть $u = \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}$, тогда $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctg u$;

$$y’ = \frac{2}{\sqrt{3}} (\arctg u)’ \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} (2x + 1)’ = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3 \left( 1 + \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right)};$$ $$y'(x_0) = \frac{4}{3 \left( 1 + \left( \frac{-2 + 1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right)} = \frac{4}{3 \left( 1 + \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right)} = \frac{4}{3 \left( 1 + \frac{1}{3} \right)} = \frac{4}{3 \cdot \frac{4}{3}} = \frac{4}{4} = 1;$$

в) $y = \arcsin \sqrt{x}$ и $x_0 = \frac{1}{2}$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \arcsin u$;

$$y’ = (\arcsin u)’ \cdot (\sqrt{x})’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{(1 — x)x}};$$ $$y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{\left( 1 — \left( \frac{1}{2} \right) \right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot \left( \frac{2}{4} — \frac{1}{4} \right)}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1;$$

г) $y = \arccos \frac{2 — x}{x \sqrt{2}}$ и $x_0 = 1$;

Пусть $u = \frac{2 — x}{x \sqrt{2}}$, тогда $y = \arccos u$;

$$u’ = \frac{(2 — x)’ \cdot x \sqrt{2} — (2 — x) \cdot \sqrt{2} (x)’}{(x \sqrt{2})^2} = \frac{-x \sqrt{2} — 2 \sqrt{2} + x \sqrt{2}}{2x^2} = -\frac{\sqrt{2}}{x^2};$$ $$y’ = (\arccos u)’ \cdot u’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{x^2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 — \left( \frac{2 — x}{x \sqrt{2}} \right)^2}} \cdot \frac{1}{x^2};$$ $$y'(x_0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 — \left( \frac{2 — 1}{1 \sqrt{2}} \right)^2}} \cdot \frac{1}{1^2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 — \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 — \frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{4} = 2;$$

а) $y = (\arccos x)^3$ и $x_0 = 0$;

Рассмотрим функцию $y = (\arccos x)^3$. Чтобы найти производную $y’$, воспользуемся цепным правилом для дифференцирования сложных функций.

Пусть $u = \arccos x$, тогда $y = u^3$. Для нахождения производной функции $y$ по $x$, применим цепное правило:

$$y’ = \frac{d}{dx} \left( u^3 \right) = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx}.$$

Теперь нам нужно найти производную $\frac{du}{dx}$, где $u = \arccos x$. Производная арккосинуса:

$$\frac{d}{dx} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Подставляем это в цепную производную:

$$y’ = 3u^2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} \right).$$

Подставляем $u = \arccos x$:

$$y’ = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Теперь вычислим производную в точке $x_0 = 0$:

$$y'(x_0) = -\frac{3(\arccos 0)^2}{\sqrt{1 — 0^2}} = -\frac{3\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}{1} = -\frac{3\pi^2}{4}.$$

Итак, ответ для пункта а:

$$y'(x_0) = -\frac{3\pi^2}{4}.$$

б) $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctg \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}$ и $x_0 = -1$;

Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctg \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right)$. Здесь также используем цепное правило для дифференцирования.

Пусть $u = \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}$, тогда $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctg u$. Производная арктангенса:

$$\frac{d}{dx} (\arctg u) = \frac{1}{1 + u^2}.$$

Для вычисления производной $y$ по $x$, применим цепное правило:

$$y’ = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}.$$

Рассмотрим $u = \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}$, тогда $\frac{du}{dx} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Подставим это в выражение для производной:

$$y’ = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3 \left( 1 + \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right)}.$$

Теперь вычислим производную в точке $x_0 = -1$:

$$y'(x_0) = \frac{4}{3 \left( 1 + \left( \frac{-2 + 1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right)} = \frac{4}{3 \left( 1 + \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right)}.$$

Упростим выражение внутри скобок:

$$y'(x_0) = \frac{4}{3 \left( 1 + \frac{1}{3} \right)} = \frac{4}{3 \cdot \frac{4}{3}} = \frac{4}{4} = 1.$$

Ответ для пункта б:

$$y'(x_0) = 1.$$

в) $y = \arcsin \sqrt{x}$ и $x_0 = \frac{1}{2}$;

Рассмотрим функцию $y = \arcsin \sqrt{x}$. Для нахождения производной применим цепное правило.

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \arcsin u$. Производная арксинуса:

$$\frac{d}{dx} (\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}.$$

Производная $u = \sqrt{x}$ по $x$:

$$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Применим цепное правило:

$$y’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 — x} \cdot 2\sqrt{x}}.$$

Упростим:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{(1 — x)x}}.$$

Теперь вычислим производную в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:

$$y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{\left( 1 — \frac{1}{2} \right) \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1.$$

Ответ для пункта в:

$$y'(x_0) = 1.$$

г) $y = \arccos \frac{2 — x}{x \sqrt{2}}$ и $x_0 = 1$;

Рассмотрим функцию $y = \arccos \left( \frac{2 — x}{x \sqrt{2}} \right)$. Здесь также применим цепное правило.

Пусть $u = \frac{2 — x}{x \sqrt{2}}$, тогда $y = \arccos u$. Производная арккосинуса:

$$\frac{d}{dx} (\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}.$$

Для вычисления производной $y$ по $x$, нужно найти производную $u$ по $x$. Используем правило дифференцирования частного:

$$u’ = \frac{(2 — x)’ \cdot x \sqrt{2} — (2 — x) \cdot \sqrt{2} (x)’}{(x \sqrt{2})^2}.$$

Вычислим производные:

$$(2 — x)’ = -1, \quad (x)’ = 1.$$

Подставляем эти значения:

$$u’ = \frac{(-1) \cdot x \sqrt{2} — (2 — x) \cdot \sqrt{2}}{2x^2} = \frac{-x \sqrt{2} — 2 \sqrt{2} + x \sqrt{2}}{2x^2} = -\frac{\sqrt{2}}{x^2}.$$

Теперь можем записать производную $y$:

$$y’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{x^2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 — \left( \frac{2 — x}{x \sqrt{2}} \right)^2}} \cdot \frac{1}{x^2}.$$

Теперь вычислим производную в точке $x_0 = 1$:

$$y'(x_0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 — \left( \frac{2 — 1}{1 \sqrt{2}} \right)^2}} \cdot \frac{1}{1^2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 — \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 — \frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}} = \sqrt{4} = 2.$$

Ответ для пункта г:

$$y'(x_0) = 2.$$

Итоговые ответы:

а) $y'(x_0) = -\frac{3\pi^2}{4}$

б) $y'(x_0) = 1$

в) $y'(x_0) = 1$

г) $y'(x_0) = 2$