ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите скорость изменения функции у = g(x) в точке $x_0$:

а) $g(x) = \arctg (1 — 3x)$ и $x_0 = \frac{1}{3}$;

б) $g(x) = \arcsin \sqrt{x}$ и $x_0 = 0,25$;

в) $g(x) = \arccos(2x — 3)$ и $x_0 = 1,5$;

г) $g(x) = \sqrt{\arcctg x}$ и $x_0 = 0$

а) $g(x) = \arctg (1 — 3x)$ и $x_0 = \frac{1}{3}$;

Пусть $u = 1 — 3x$, тогда $g(x) = \arctg u$;

$$g'(x) = (\arctg x)’ \cdot (1 — 3x)’ = \frac{1}{1 + u^2} \cdot (-3) = -\frac{3}{1 + (1 — 3x)^2};$$ $$g'(x_0) = -\frac{3}{1 + \left(1 — 3 \cdot \frac{1}{3}\right)^2} = -\frac{3}{1 + (1 — 1)^2} = -\frac{3}{1 + 0} = -3;$$

б) $g(x) = \arcsin \sqrt{x}$ и $x_0 = 0,25$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $g(x) = \arcsin u$;

$$g'(x) = (\arcsin u)’ \cdot (\sqrt{x})’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{(1 — x)x}} = \frac{1}{2\sqrt{x — x^2}};$$ $$g'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4} — \left(\frac{1}{4}\right)^2}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{4}{16} — \frac{1}{16}}} = \frac{1}{2} : \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}};$$

в) $g(x) = \arccos(2x — 3)$ и $x_0 = 1,5$;

Пусть $u = 2x — 3$, тогда $g(x) = \arccos u$;

$$g'(x) = (\arccos u)’ \cdot (2x — 3)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1 — (2x — 3)^2}};$$ $$g'(x_0) = -\frac{2}{\sqrt{1 — (2 \cdot 1,5 — 3)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 — (3 — 3)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 — 0}} = -\frac{2}{1} = -2;$$

г) $g(x) = \sqrt{\arcctg x}$ и $x_0 = 0$;

Пусть $u = \arcctg x$, тогда $g(x) = \sqrt{u}$;

$$g'(x) = (\sqrt{u})’ \cdot (\arcctg x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \left(-\frac{1}{1 + x^2}\right) = -\frac{1}{2(1 + x^2)\sqrt{\arcctg x}};$$ $$g'(x_0) = -\frac{1}{2(1 + 0^2)\sqrt{\arcctg 0}} = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{\pi}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{4\pi}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}.$$

а) $g(x) = \arctg (1 — 3x)$ и $x_0 = \frac{1}{3}$

Мы видим, что $g(x) = \arctg(1 — 3x)$, где внутри арктангенса выражение зависит от $x$.

Обозначим:

$$u = 1 — 3x$$

Тогда $g(x) = \arctg(u)$.

Теперь применим правило дифференцирования сложной функции. Производная функции $\arctg(u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1+u^2}$. А производная $u = 1 — 3x$ по $x$ равна $-3$.

Таким образом, по формуле производной сложной функции:

$$g'(x) = \frac{d}{dx} \arctg(u) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + (1 — 3x)^2} \cdot (-3)$$ $$g'(x) = -\frac{3}{1 + (1 — 3x)^2}$$

Теперь подставим $x_0 = \frac{1}{3}$ в полученную формулу:

$$g'(x_0) = -\frac{3}{1 + \left( 1 — 3 \cdot \frac{1}{3} \right)^2} = -\frac{3}{1 + (1 — 1)^2} = -\frac{3}{1 + 0} = -3$$

Ответ: $g'(x_0) = -3$.

б) $g(x) = \arcsin \sqrt{x}$ и $x_0 = 0,25$

В этом случае $g(x) = \arcsin(\sqrt{x})$. Обозначим:

$$u = \sqrt{x}$$

Тогда $g(x) = \arcsin(u)$.

Производная функции $\arcsin(u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}$, а производная $u = \sqrt{x}$ по $x$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, применяя правило дифференцирования сложной функции:

$$g'(x) = \frac{d}{dx} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 — x)}}$$

Теперь подставим $x_0 = 0.25$ в полученную формулу:

$$g'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{0.25(1 — 0.25)}} = \frac{1}{2\sqrt{0.25 \cdot 0.75}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{16}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Ответ: $g'(x_0) = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

в) $g(x) = \arccos(2x — 3)$ и $x_0 = 1,5$

В этом случае $g(x) = \arccos(2x — 3)$. Обозначим:

$$u = 2x — 3$$

Тогда $g(x) = \arccos(u)$.

Производная функции $\arccos(u)$ по $u$ равна $-\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}$, а производная $u = 2x — 3$ по $x$ равна $2$.

Применяя правило дифференцирования сложной функции:

$$g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1 — (2x — 3)^2}}$$

Теперь подставим $x_0 = 1.5$ в полученную формулу:

$$g'(x_0) = -\frac{2}{\sqrt{1 — (2 \cdot 1.5 — 3)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 — (3 — 3)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 — 0}} = -\frac{2}{1} = -2$$

Ответ: $g'(x_0) = -2$.

г) $g(x) = \sqrt{\arcctg x}$ и $x_0 = 0$

В этом случае $g(x) = \sqrt{\arcctg(x)}$. Обозначим:

$$u = \arcctg(x)$$

Тогда $g(x) = \sqrt{u}$.

Производная функции $\sqrt{u}$ по $u$ равна $\frac{1}{2\sqrt{u}}$, а производная $\arcctg(x)$ по $x$ равна $-\frac{1}{1 + x^2}$.

Применяя правило дифференцирования сложной функции:

$$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\arcctg(x)}} \cdot \left(-\frac{1}{1 + x^2}\right)$$ $$g'(x) = -\frac{1}{2(1 + x^2)\sqrt{\arcctg(x)}}$$

Теперь подставим $x_0 = 0$ в полученную формулу. Нам нужно вычислить $\arcctg(0)$. Мы знаем, что $\arcctg(0) = \frac{\pi}{2}$, так как $\tan(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставляем в производную:

$$g'(x_0) = -\frac{1}{2(1 + 0^2)\sqrt{\arcctg(0)}} = -\frac{1}{2\sqrt{\frac{\pi}{2}}}$$

Упростим:

$$g'(x_0) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{4\pi}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

Ответ: $g'(x_0) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.

Таким образом, мы получаем следующие ответы:

а) $g'(x_0) = -3$

б) $g'(x_0) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

в) $g'(x_0) = -2$

г) $g'(x_0) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$