ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой $x_0$ и осью х:

а) $h(x) = \arcsin(3x — 2)$ и $x_0 = \frac{2}{3}$;

б) $h(x) = \arcsin x \cdot \arccos x$ и $x_0 = 0$

а) $h(x) = \arcsin(3x — 2)$ и $x_0 = \frac{2}{3}$;

Пусть $u = (3x — 2)$, тогда $h(x) = \arcsin u$;

$$h'(x) = (\arcsin u)’ \cdot (3x — 2)’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1 — (3x — 2)^2}}$$ $$h'(x_0) = \frac{3}{\sqrt{1 — \left(3 \cdot \frac{2}{3} — 2\right)^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 — (2 — 2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 — 0}} = \frac{3}{1} = 3$$

б) $h(x) = \arcsin x \cdot \arccos x$ и $x_0 = 0$;

$$h'(x) = (\arcsin x)’ \cdot \arccos x + \arcsin x \cdot (\arccos x)’$$ $$h'(x) = \frac{\arccos x}{\sqrt{1 — x^2}} + \left(-\frac{\arcsin x}{\sqrt{1 — x^2}}\right) = \frac{\arccos x — \arcsin x}{\sqrt{1 — x^2}}$$ $$h'(x_0) = \frac{\arccos 0 — \arcsin 0}{\sqrt{1 — 0^2}} = \frac{\frac{\pi}{2} — 0}{\sqrt{1}} = \frac{\pi}{2}$$

а) $h(x) = \arcsin(3x — 2)$ и $x_0 = \frac{2}{3}$:

Нам нужно найти производную функции $h(x) = \arcsin(3x — 2)$ в точке $x_0 = \frac{2}{3}$. Рассмотрим, как это можно сделать шаг за шагом:

Определение производной:

Для начала используем цепное правило для нахождения производной. Пусть $u = 3x — 2$, тогда $h(x) = \arcsin(u)$. Согласно правилу дифференцирования функции $\arcsin(u)$, производная функции по переменной $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}.$$

Теперь применим цепное правило, чтобы найти производную функции $h(x) = \arcsin(3x — 2)$:

$$h'(x) = \frac{d}{dx} \arcsin(3x — 2) = \frac{1}{\sqrt{1 — (3x — 2)^2}} \cdot \frac{d}{dx} (3x — 2).$$

Дифференцирование внутренней функции $3x — 2$:

Поскольку производная от $3x — 2$ по $x$ равна 3, то:

$$h'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — (3x — 2)^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1 — (3x — 2)^2}}.$$

Нахождение производной в точке $x_0 = \frac{2}{3}$:

Теперь подставим $x_0 = \frac{2}{3}$ в найденную формулу для производной:

$$h'(x_0) = \frac{3}{\sqrt{1 — \left(3 \cdot \frac{2}{3} — 2\right)^2}}.$$

Упростим выражение внутри квадратного корня:

$$3 \cdot \frac{2}{3} — 2 = 2 — 2 = 0.$$

Следовательно, под корнем получится $1 — 0^2 = 1$, и выражение для производной примет вид:

$$h'(x_0) = \frac{3}{\sqrt{1}} = \frac{3}{1} = 3.$$

Таким образом, производная функции $h(x) = \arcsin(3x — 2)$ в точке $x_0 = \frac{2}{3}$ равна 3.

б) $h(x) = \arcsin x \cdot \arccos x$ и $x_0 = 0$:

Теперь найдем производную функции $h(x) = \arcsin(x) \cdot \arccos(x)$ в точке $x_0 = 0$. Для этого используем правило произведения для дифференцирования.

Правило произведения:

Если $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, то производная будет вычисляться по формуле:

$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).$$

В нашем случае $f(x) = \arcsin(x)$ и $g(x) = \arccos(x)$. Найдем производные обеих функций.

Производная $\arcsin(x)$:

Производная функции $\arcsin(x)$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Производная $\arccos(x)$:

Производная функции $\arccos(x)$ по $x$ равна:

$$\frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Применение правила произведения:

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$$h'(x) = \left( \frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} \right) \cdot \arccos(x) + \arcsin(x) \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 — x^2}} \right).$$

Упростим:

$$h'(x) = \frac{\arccos(x) — \arcsin(x)}{\sqrt{1 — x^2}}.$$

Нахождение производной в точке $x_0 = 0$:

Теперь подставим $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$$h'(x_0) = \frac{\arccos(0) — \arcsin(0)}{\sqrt{1 — 0^2}}.$$

Используем значения арккосинуса и арксинуса для $x = 0$:

$$\arccos(0) = \frac{\pi}{2}, \quad \arcsin(0) = 0.$$

Подставляем эти значения в выражение для производной:

$$h'(x_0) = \frac{\frac{\pi}{2} — 0}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{1} = \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, производная функции $h(x) = \arcsin(x) \cdot \arccos(x)$ в точке $x_0 = 0$ равна $\frac{\pi}{2}$.

Итог:

а) 3.

б) $\frac{\pi}{2}$.