ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Решите уравнение $f'(x) = 2$, если $f(x) = \arctg(2x)$.

б) Найдите те значения $x$, при которых выполняется равенство $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$, где $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{x}$.

а) $f(x) = \arctg 2x$ и $f'(x) = 2$;

Пусть $u = 2x$, тогда $f(x) = \arctg u$;

$$f'(x) = (\arctg u)’ \cdot (2x)’ = \frac{1}{1 + u^2} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2};$$ $$\frac{2}{1 + 4x^2} = 2;$$ $$2 = 2(1 + 4x^2);$$ $$2 = 2 + 8x^2;$$ $$8x^2 = 0;$$ $$x^2 = 0, \text{отсюда } x = 0;$$

Ответ: 0.

б) $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{x}$ и $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $f(x) = 2 \arcsin u$;

$$f'(x) = 2(\arcsin u)’ \cdot (\sqrt{x})’ = \frac{2}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{(1 — x)x}} = \frac{1}{\sqrt{x — x^2}};$$ $$\left( \frac{1}{\sqrt{x — x^2}} \right)^2 = \frac{1}{x};$$ $$\frac{1}{x — x^2} = \frac{1}{x};$$ $$x — x^2 = x;$$ $$x^2 = 0, \text{отсюда } x = 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq 0 \text{ и } x \neq 1;$$

Ответ: таких значений нет.

а) $f(x) = \arctg(2x)$ и $f'(x) = 2$:

Нам нужно решить уравнение $f'(x) = 2$ для функции $f(x) = \arctg(2x)$.

Нахождение производной функции $f(x)$:

Для начала, используем цепное правило для нахождения производной функции $f(x) = \arctg(2x)$. Пусть $u = 2x$, тогда $f(x) = \arctg(u)$. Известно, что производная функции $\arctg(u)$ по переменной $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \arctg(u) = \frac{1}{1 + u^2}.$$

Теперь применим цепное правило для нахождения производной $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \arctg(2x) = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2x).$$

Производная от $2x$ по $x$ равна 2, поэтому:

$$f'(x) = \frac{2}{1 + 4x^2}.$$

Решение уравнения $f'(x) = 2$:

Теперь решим уравнение:

$$\frac{2}{1 + 4x^2} = 2.$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $1 + 4x^2$:

$$2 = 2(1 + 4x^2).$$

Раскроем скобки:

$$2 = 2 + 8x^2.$$

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

$$2 — 2 = 8x^2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 8x^2.$$

Разделим обе части на 8:

$$x^2 = 0.$$

Из этого получаем, что $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

б) $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{x}$ и $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$:

Нам нужно найти те значения $x$, при которых выполняется равенство $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$, где $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{x}$.

Нахождение производной функции $f(x)$:

Для начала, используем цепное правило для нахождения производной функции $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{x}$. Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $f(x) = 2 \arcsin(u)$.

Производная функции $\arcsin(u)$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}.$$

Теперь применим цепное правило для нахождения производной $f(x)$. Так как $u = \sqrt{x}$, то $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Следовательно, производная $f'(x)$ будет:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Подставим $u = \sqrt{x}$ в выражение для производной:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 — x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x(1 — x)}}.$$

Подставим выражение для $f'(x)$ в уравнение $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$:

Теперь подставим выражение для производной $f'(x)$ в уравнение $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$:

$$\left( \frac{1}{\sqrt{x(1 — x)}} \right)^2 = \frac{1}{x}.$$

Упростим левую часть уравнения:

$$\frac{1}{x(1 — x)} = \frac{1}{x}.$$

Решение уравнения:

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $x(1 — x)$, при этом учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$, чтобы не делить на ноль:

$$1 = 1 — x.$$

Переносим $x$ в другую часть:

$$x = 0.$$

Однако, изначально мы исключили $x = 0$ как возможное значение, так как $\frac{1}{x}$ не определено при $x = 0$.

Проверка значений $x$:

Учитывая, что мы исключили $x = 0$ и $x = 1$ (так как выражение $\sqrt{x(1 — x)}$ имеет смысл только для $0 < x < 1$), можно заключить, что:

Ответ: Таких значений $x$, при которых выполняется это равенство, нет.