ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство (f'(x))² > 1, если:

а) $f(x) = \arcsin 2x$ и $(f'(x))^2 > 1$;

б) $f(x) = 2 \arccos \sqrt{x}$ и $(f'(x))^2 > 1$

а) $f(x) = \arcsin 2x$ и $(f'(x))^2 > 1$;

Пусть $u = 2x$, тогда $f(x) = \arcsin u$;

$f'(x) = (\arcsin u)’ \cdot (2x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 — 4x^2}}$;

$\left( \frac{2}{\sqrt{1 — 4x^2}} \right)^2 > 1$;

$\frac{4}{1 — 4x^2} — 1 > 0$;

$\frac{4 — (1 — 4x^2)}{1 — 4x^2} > 0$;

$\frac{3 + 4x^2}{1 — 4x^2} > 0$;

Выражение имеет смысл, если $(1 — 4x^2) > 0$, значит:

$3 + 4x^2 > 0$;

$4x^2 > -3$;

$x^2 > -\frac{3}{4}$;

$x \in (-\infty; +\infty)$;

$1 — 4x^2 > 0$;

$1 > 4x^2$;

$x^2 < \frac{1}{4}$;

$|x| < \frac{1}{2}$;

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$;

Ответ: $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

б) $f(x) = 2 \arccos \sqrt{x}$ и $(f'(x))^2 > 1$;

Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $f(x) = 2 \arccos u$;

$f'(x) = 2 (\arccos u)’ \cdot (\sqrt{x})’ = -\frac{2}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x — x^2}}$;

$\left( -\frac{1}{\sqrt{x — x^2}} \right)^2 > 1$;

$\frac{1}{x — x^2} — 1 > 0$;

$\frac{1 — x + x^2}{x — x^2} > 0$;

Выражение имеет смысл, если $x — x^2 > 0$, значит:

$x^2 — x + 1 = 0$;

$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3$;

$D < 0$, значит корней нет;

$x — x^2 > 0$;

$x(1 — x) > 0$;

$0 < x < 1$;

Ответ: $0 < x < 1$.

а) $f(x) = \arcsin(2x)$ и $(f'(x))^2 > 1$:

Нам нужно решить неравенство $(f'(x))^2 > 1$ для функции $f(x) = \arcsin(2x)$.

1. Нахождение производной функции $f(x)$:

Для начала вычислим производную функции $f(x) = \arcsin(2x)$.

• Для этого воспользуемся цепным правилом. Пусть $u = 2x$, тогда $f(x) = \arcsin(u)$.
• Производная функции $\arcsin(u)$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}.$$

Теперь применим цепное правило:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \cdot \frac{d}{dx}(2x).$$

Так как производная $\frac{d}{dx}(2x) = 2$, получаем:

$$f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 — (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 — 4x^2}}.$$

2. Решение неравенства $(f'(x))^2 > 1$:

Теперь подставим $f'(x)$ в неравенство:

$$\left( \frac{2}{\sqrt{1 — 4x^2}} \right)^2 > 1.$$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$\frac{4}{1 — 4x^2} > 1.$$

Теперь преобразуем это неравенство. Для этого вычитаем 1 из обеих частей:

$$\frac{4}{1 — 4x^2} — 1 > 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{4 — (1 — 4x^2)}{1 — 4x^2} > 0,$$

что даёт:

$$\frac{3 + 4x^2}{1 — 4x^2} > 0.$$

3. Решение полученного неравенства:

Чтобы решить это неравенство, необходимо учитывать, когда числитель и знаменатель выражения имеют одинаковый знак, то есть оба положительные или оба отрицательные.

1. Условие для числителя: $3 + 4x^2 > 0$

Поскольку $4x^2 \geq 0$, то выражение $3 + 4x^2 > 0$ выполняется для всех $x$, так как $3 + 4x^2$ всегда положительно.

2. Условие для знаменателя: $1 — 4x^2 > 0$

Чтобы знаменатель был положительным, необходимо:

$$1 — 4x^2 > 0,$$

или

$$4x^2 < 1,$$

что эквивалентно:

$$x^2 < \frac{1}{4}.$$

Отсюда получаем:

$$|x| < \frac{1}{2}.$$

Или, в интервале:

$$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}.$$

4. Итоговое решение:

Таким образом, решение неравенства $(f'(x))^2 > 1$ для функции $f(x) = \arcsin(2x)$ будет:

$$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}.$$

Ответ: $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

б) $f(x) = 2 \arccos \sqrt{x}$ и $(f'(x))^2 > 1$:

Нам нужно решить неравенство $(f'(x))^2 > 1$ для функции $f(x) = 2 \arccos \sqrt{x}$.

1. Нахождение производной функции $f(x)$:

Для нахождения производной функции $f(x) = 2 \arccos \sqrt{x}$ воспользуемся цепным правилом.

• Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $f(x) = 2 \arccos(u)$.
• Производная функции $\arccos(u)$ по $u$ равна:

$$\frac{d}{du} \arccos(u) = -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}}.$$

Теперь применим цепное правило. Поскольку $u = \sqrt{x}$, то производная $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Таким образом, производная $f'(x)$ будет:

$$f'(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1 — u^2}} \right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x — x^2}}.$$

2. Решение неравенства $(f'(x))^2 > 1$:

Теперь подставим $f'(x)$ в неравенство:

$$\left( -\frac{1}{\sqrt{x — x^2}} \right)^2 > 1.$$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$\frac{1}{x — x^2} > 1.$$

Теперь преобразуем это неравенство. Для этого вычитаем 1 из обеих частей:

$$\frac{1}{x — x^2} — 1 > 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1 — (x — x^2)}{x — x^2} > 0,$$

что даёт:

$$\frac{1 — x + x^2}{x — x^2} > 0.$$

3. Решение полученного неравенства:

Чтобы решить это неравенство, необходимо учитывать, когда числитель и знаменатель выражения имеют одинаковый знак.

1. Условие для числителя: $1 — x + x^2 = 0$

Для того чтобы числитель был равен нулю, решим квадратное уравнение:

$$x^2 — x + 1 = 0.$$

Посчитаем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3.$$

Поскольку дискриминант отрицателен, корней этого уравнения нет. Это означает, что числитель всегда положителен.

2. Условие для знаменателя: $x — x^2 > 0$

Для того чтобы знаменатель был положительным, решим неравенство:

$$x(1 — x) > 0.$$

Решение этого неравенства:

$$0 < x < 1.$$

4. Итоговое решение:

Таким образом, решение неравенства $(f'(x))^2 > 1$ для функции $f(x) = 2 \arccos \sqrt{x}$ будет:

$$0 < x < 1.$$

Ответ: $0 < x < 1$.