ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

б) $y=2\sin x\cdot \cos x$

в) $y=1-2{\sin }^{2}3x$

г) $y={\sin }^{2}3x+{\cos }^{2}3x$

а) $y = \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$;
Пусть $u = 2x$, тогда $y = \cos u$;
$y’ = (\cos u)’ \cdot (2x)’ = -\sin u \cdot 2 = -2 \sin 2x$;

б) $y = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x$;
Пусть $u = 2x$, тогда $y = \sin u$;
$y’ = (\sin u)’ \cdot (2x)’ = \cos u \cdot 2 = 2 \cos 2x$;

в) $y = 1 — 2 \sin^2 3x = \cos(2 \cdot 3x) = \cos 6x$;
Пусть $u = 6x$, тогда $y = \cos u$;
$y’ = (\cos u)’ \cdot (6x)’ = -\sin u \cdot 6 = -6 \sin 6x$;

г) $y = \sin^2 3x + \cos^2 3x = 1$;
$y’ = (1)’ = 0$

а)

Найти производную:

$$y = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Шаг 1: Узнаём, что это формула двойного угла:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos(2x)$$

Шаг 2: Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 2x$$

Тогда:

$$y = \cos(u)$$

Шаг 3: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\cos u) = -\sin u$$

Шаг 4: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2$$

Шаг 5: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = (-\sin u) \cdot 2 = -2 \sin u$$

Шаг 6: Подставляем $u = 2x$:

$$y’ = -2 \sin 2x$$

б)

Найти производную:

$$y = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Шаг 1: Узнаём тождество:

$$2 \sin x \cos x = \sin 2x$$

Шаг 2: Обозначим:

$$u = 2x$$

Тогда:

$$y = \sin(u)$$

Шаг 3: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \cos u$$

Шаг 4: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = 2$$

Шаг 5: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2 \cos u$$

Шаг 6: Подставляем $u = 2x$:

$$y’ = 2 \cos 2x$$

в)

Найти производную:

$$y = 1 — 2 \sin^2 3x$$

Шаг 1: Применяем тригонометрическое тождество:

$$1 — 2 \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$$

Значит:

$$1 — 2 \sin^2 3x = \cos(2 \cdot 3x) = \cos 6x$$

Шаг 2: Обозначим:

$$u = 6x$$

Тогда:

$$y = \cos(u)$$

Шаг 3: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = -\sin u$$

Шаг 4: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = 6$$

Шаг 5: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = -\sin u \cdot 6 = -6 \sin u$$

Шаг 6: Подставляем $u = 6x$:

$$y’ = -6 \sin 6x$$

г)

Найти производную:

$$y = \sin^2 3x + \cos^2 3x$$

Шаг 1: Применяем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

Значит:

$$y = 1$$

Шаг 2: Производная константы:

$$y’ = \frac{d}{dx}(1) = 0$$