ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y=\sin 3x\cdot \cos 5x+\cos 3x\cdot \sin 5x$

б) $y=\cos 4x\cdot \cos 6x-\sin 4x\cdot \sin 6x$

в) $y=\sin 7x\cdot \cos 3x-\cos 7x\cdot \sin 3x$

г) $y=\cos \frac{x}{3}\cdot \cos \frac{x}{6}+\sin \frac{x}{3}\cdot \sin \frac{x}{6}$

а) $y = \sin 3x \cdot \cos 5x + \cos 3x \cdot \sin 5x = \sin(3x + 5x) = \sin 8x$;
Пусть $u = 8x$, тогда $y = \sin u$;
$y’ = (\sin u)’ \cdot (8x)’ = \cos u \cdot 8 = 8 \cos 8x$;

б) $y = \cos 4x \cdot \cos 6x — \sin 4x \cdot \sin 6x = \cos(4x + 6x) = \cos 10x$;
Пусть $u = 10x$, тогда $y = \cos u$;
$y’ = (\cos u)’ \cdot (10x)’ = -\sin u \cdot 10 = -10 \sin 10x$;

в) $y = \sin 7x \cdot \cos 3x — \cos 7x \cdot \sin 3x = \sin(7x — 3x) = \sin 4x$;
Пусть $u = 4x$, тогда $y = \sin u$;
$y’ = (\sin u)’ \cdot (4x)’ = \cos u \cdot 4 = 4 \cos 4x$;

г) $y = \cos \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{6} + \sin \frac{x}{3} \cdot \sin \frac{x}{6} = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{x}{6}\right) = \cos\left(\frac{2x — x}{6}\right) = \cos \frac{x}{6}$;
Пусть $u = \frac{x}{6}$, тогда $y = \cos u$;
$y’ = (\cos u)’ \cdot \left(\frac{x}{6}\right)’ = -\sin u \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \sin \frac{x}{6}$

а)

Найти производную:

$$y = \sin 3x \cdot \cos 5x + \cos 3x \cdot \sin 5x$$

Шаг 1: Узнаём тождество:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Здесь $A = 3x$, $B = 5x$, значит:

$$y = \sin(3x + 5x) = \sin(8x)$$

Шаг 2: Обозначим:

$$u = 8x$$

Тогда:

$$y = \sin u$$

Шаг 3: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \cos u$$

Шаг 4: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(8x) = 8$$

Шаг 5: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 8 = 8 \cos u$$

Шаг 6: Подставляем $u = 8x$:

$$y’ = 8 \cos 8x$$

б)

Найти производную:

$$y = \cos 4x \cdot \cos 6x — \sin 4x \cdot \sin 6x$$

Шаг 1: Используем тождество:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$

Здесь $A = 4x$, $B = 6x$, значит:

$$y = \cos(4x + 6x) = \cos(10x)$$

Шаг 2: Обозначим:

$$u = 10x$$

Тогда:

$$y = \cos u$$

Шаг 3: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = -\sin u$$

Шаг 4: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = 10$$

Шаг 5: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = -\sin u \cdot 10 = -10 \sin u$$

Шаг 6: Подставляем $u = 10x$:

$$y’ = -10 \sin 10x$$

в)

Найти производную:

$$y = \sin 7x \cdot \cos 3x — \cos 7x \cdot \sin 3x$$

Шаг 1: Используем тождество:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B)$$

Здесь $A = 7x$, $B = 3x$, значит:

$$y = \sin(7x — 3x) = \sin(4x)$$

Шаг 2: Обозначим:

$$u = 4x$$

Тогда:

$$y = \sin u$$

Шаг 3: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \cos u$$

Шаг 4: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = 4$$

Шаг 5: По правилу цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 4 = 4 \cos u$$

Шаг 6: Подставим $u = 4x$:

$$y’ = 4 \cos 4x$$

г)

Найти производную:

$$y = \cos\frac{x}{3} \cdot \cos\frac{x}{6} + \sin\frac{x}{3} \cdot \sin\frac{x}{6}$$

Шаг 1: Используем тождество:

$$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A — B)$$

Здесь $A = \frac{x}{3}$, $B = \frac{x}{6}$, значит:

$$y = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{x}{6}\right)$$

Шаг 2: Приведём выражение внутри косинуса к общему знаменателю:

$$\frac{x}{3} — \frac{x}{6} = \frac{2x — x}{6} = \frac{x}{6}$$

Итак:

$$y = \cos\left(\frac{x}{6}\right)$$

Шаг 3: Обозначим:

$$u = \frac{x}{6}$$

Тогда:

$$y = \cos u$$

Шаг 4: Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = -\sin u$$

Шаг 5: Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{1}{6}$$

Шаг 6: Применяем правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = -\sin u \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \sin u$$

Шаг 7: Подставим $u = \frac{x}{6}$:

$$y’ = -\frac{1}{6} \sin \frac{x}{6}$$