ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = (1 — x^3)^5$;

б) $y = \sqrt{x^3 + 3x^2 — 2x + 1}$;

в) $y = \frac{1}{(x^2 — 7x + 8)^2}$;

г) $y = \sqrt{\frac{x^2 — 1}{x^2 + 5}}$

а) $y = (1 — x^3)^5$;
Пусть $u = 1 — x^3$, тогда $y = u^5$;
$y’ = (u^5)’ \cdot (1 — x^3)’ = 5u^4 \cdot (0 — 3x^2) = -15x^2 \cdot (1 — x^3)^4$;

б) $y = \sqrt{x^3 + 3x^2 — 2x + 1}$;
Пусть $u = x^3 + 3x^2 — 2x + 1$, тогда $y = \sqrt{u}$;
$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot (x^3 + 3x^2 — 2x + 1)’$;
$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (3x^2 + 3 \cdot 2x — 2) = \frac{3x^2 + 6x — 2}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 — 2x + 1}}$;

в) $y = \frac{1}{(x^2 — 7x + 8)^2}$;
Пусть $u = x^2 — 7x + 8$, тогда $y = \frac{1}{u^2}$;
$y’ = \left( \frac{1}{u^2} \right)’ \cdot (x^2 — 7x + 8)’$;
$y’ = (u^{-2})’ \cdot (2x — 7) = -2u^{-3} \cdot (2x — 7) = \frac{-2(2x — 7)}{u^3} = \frac{14 — 4x}{(x^2 — 7x + 8)^3}$;

г) $y = \sqrt{\frac{x^2 — 1}{x^2 + 5}}$;
Пусть $u = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 5}$, тогда $y = \sqrt{u}$;

$u’ = \frac{(x^2 — 1)'(x^2 + 5) — (x^2 — 1)(x^2 + 5)’}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x(x^2 + 5) — (x^2 — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2}$

$= \frac{2x(x^2 + 5 — x^2 + 1)}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x \cdot 6}{(x^2 + 5)^2} = \frac{12x}{(x^2 + 5)^2}$;

$y’ = (\sqrt{u})’ \cdot u’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{12x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{6x}{\sqrt{x^2 — 1} \cdot \sqrt{x^2 + 5} \cdot (x^2 + 5)}$

$= \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{x^2 + 5} \cdot \sqrt{x^2 — 1}}$

а)

Найти производную:

$$y = (1 — x^3)^5$$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u = 1 — x^3$$

Тогда:

$$y = u^5$$

Шаг 2. Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^5) = 5u^4$$

Шаг 3. Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 — x^3) = -3x^2$$

Шаг 4. По правилу цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2 \cdot u^4$$

Шаг 5. Подставим $u = 1 — x^3$:

$$y’ = -15x^2(1 — x^3)^4$$

б)

Найти производную:

$$y = \sqrt{x^3 + 3x^2 — 2x + 1}$$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = x^3 + 3x^2 — 2x + 1,\quad y = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Шаг 2. Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 3. Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 — 2x + 1) = 3x^2 + 6x — 2$$

Шаг 4. Применим правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (3x^2 + 6x — 2)$$

Шаг 5. Подставим $u$ обратно:

$$y’ = \frac{3x^2 + 6x — 2}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 — 2x + 1}}$$

в)

Найти производную:

$$y = \frac{1}{(x^2 — 7x + 8)^2}$$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = x^2 — 7x + 8,\quad y = \frac{1}{u^2} = u^{-2}$$

Шаг 2. Производная внешней функции:

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^{-2}) = -2u^{-3}$$

Шаг 3. Производная внутренней функции:

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 — 7x + 8) = 2x — 7$$

Шаг 4. Применим правило цепочки:

$$\frac{dy}{dx} = -2u^{-3} \cdot (2x — 7) = \frac{-2(2x — 7)}{u^3}$$

Шаг 5. Подставим $u = x^2 — 7x + 8$, раскроем скобки:

$$y’ = \frac{-2(2x — 7)}{(x^2 — 7x + 8)^3} = \frac{14 — 4x}{(x^2 — 7x + 8)^3}$$

г)

Найти производную:

$$y = \sqrt{\frac{x^2 — 1}{x^2 + 5}}$$

Шаг 1. Обозначим:

$$u = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 5},\quad y = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Часть 1: Находим $u’$ по правилу производной частного:

$$u’ = \frac{(x^2 — 1)'(x^2 + 5) — (x^2 — 1)(x^2 + 5)’}{(x^2 + 5)^2}$$

Вычисляем производные:

• $(x^2 — 1)’ = 2x$
• $(x^2 + 5)’ = 2x$

$$u’ = \frac{2x(x^2 + 5) — (x^2 — 1)(2x)}{(x^2 + 5)^2}$$ $$= \frac{2x(x^2 + 5) — 2x(x^2 — 1)}{(x^2 + 5)^2}$$ $$= \frac{2x[(x^2 + 5) — (x^2 — 1)]}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x(6)}{(x^2 + 5)^2} = \frac{12x}{(x^2 + 5)^2}$$

Часть 2: Производная $y = \sqrt{u}$

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’$$ $$y’ = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2 — 1}{x^2 + 5}}} \cdot \frac{12x}{(x^2 + 5)^2}$$

Упрощаем:

$$\sqrt{\frac{x^2 — 1}{x^2 + 5}} = \frac{\sqrt{x^2 — 1}}{\sqrt{x^2 + 5}} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 5}}{\sqrt{x^2 — 1}}$$

Теперь:

$$y’ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 5}}{\sqrt{x^2 — 1}} \cdot \frac{12x}{(x^2 + 5)^2}$$ $$y’ = \frac{6x \cdot \sqrt{x^2 + 5}}{(x^2 + 5)^2 \cdot \sqrt{x^2 — 1}} = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{x^2 + 5} \cdot \sqrt{x^2 — 1}}$$