ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \sqrt{1 — x^2} + \cos^3 x$;

б) $y = \frac{\sqrt{\operatorname{tg} x}}{x^2 + 1}$;

в) $y = \sin^2 x \cdot \cos \sqrt{x}$;

г) $y = \frac{\sqrt{\operatorname{ctg} x}}{x^3}$

а) $y = \sqrt{1 — x^2} + \cos^3 x$;

Пусть $u = 1 — x^2$ и $z = \sqrt{u}$, тогда:

$$z’ = (\sqrt{u})’ \cdot (1 — x^2)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (0 — 2x) = -\frac{2x}{2\sqrt{u}} = -\frac{x}{\sqrt{1 — x^2}};$$

Пусть $n = \cos x$ и $t = n^3$, тогда:

$$t’ = (n^3)’ \cdot (\cos x)’ = 3n^2 \cdot (-\sin x) = -3 \cdot \sin x \cdot \cos^2 x;$$

$y = z + t$, значит $y’ = z’ + t’$:

$$y’ = -\frac{x}{\sqrt{1 — x^2}} — 3 \cdot \sin x \cdot \cos^2 x;$$

б) $y = \frac{\sqrt{\operatorname{tg} x}}{x^2 + 1}$;

Пусть $u = \operatorname{tg} x$ и $z = \sqrt{u}$, тогда:

$$z’_x = (\sqrt{u})’ \cdot (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot \cos^2 x};$$

$$y’ = \frac{(z’_x) \cdot (x^2 + 1) — \sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot (x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2} = \frac{\frac{x^2 + 1}{2\sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot \cos^2 x} — 2x \sqrt{\operatorname{tg} x}}{(x^2 + 1)^2} =$$ $$= \frac{x^2 + 1 — 2x \cdot 2 \sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot \cos^2 x}{2\sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot \cos^2 x \cdot (x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 — 4x \cdot \operatorname{tg} x \cdot \cos^2 x}{2\sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot \cos^2 x \cdot (x^2 + 1)^2} =$$ $$= \frac{x^2 + 1 — 2x \cdot 2 \sin x \cdot \cos x}{2(x^2 + 1)^2 \cdot \sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot \cos^2 x} = \frac{x^2 + 1 — 2x \cdot \sin 2x}{2(x^2 + 1)^2 \cdot \sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot \cos^2 x};$$

в) $y = \sin^2 x \cdot \cos \sqrt{x}$;

Пусть $u = \sin x$ и $z = u^2$, тогда:

$$z’_x = (u^2)’ \cdot (\sin x) = 2u \cdot \cos x = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \sin 2x;$$

Пусть $n = \sqrt{x}$ и $t = \cos n$, тогда:

$$t’_x = (\cos n)’ \cdot (\sqrt{x})’ = -\sin n \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}};$$

$y = z \cdot t$, значит:

$$y’ = z’_x \cdot t + z \cdot t’_x = \sin 2x \cdot \cos \sqrt{x} — \sin^2 x \cdot \frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}};$$

г) $y = \frac{\sqrt{\operatorname{ctg} x}}{x^3}$;

Пусть $u = \operatorname{ctg} x$ и $z = \sqrt{u}$, тогда:

$$z’_x = (\sqrt{u})’ \cdot (\operatorname{ctg} x)’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{ctg} x} \cdot \sin^2 x};$$

$$y’ = \frac{(z’_x)’ \cdot x^3 — \sqrt{\operatorname{ctg} x} \cdot (x^3)’}{x^6} = \left(-\frac{x^3}{2\sqrt{\operatorname{ctg} x} \cdot \sin^2 x} — 3x^2 \sqrt{\operatorname{ctg} x}\right) : x^6 =$$ $$= \frac{-x^3 — 6x^2 \cdot \operatorname{ctg} x \cdot \sin^2 x}{2\sqrt{\operatorname{ctg} x} \cdot \sin^2 x \cdot x^6} = \frac{-x^3 : \sqrt{\operatorname{ctg} x} — 6x^2 \cdot \sin^2 x \cdot \operatorname{ctg} x : \sqrt{\operatorname{ctg} x}}{2x^6 \cdot \sin^2 x} =$$ $$= \frac{-x \cdot \sqrt{\operatorname{tg} x} — 6 \cdot \sin^2 x \cdot \sqrt{\operatorname{ctg} x}}{2x^4 \cdot \sin^2 x}$$

а) $y = \sqrt{1 — x^2} + \cos^3 x$

Часть 1: $\sqrt{1 — x^2}$

Задаём подкоренное выражение:

$$u = 1 — x^2$$

Тогда:

$$\sqrt{1 — x^2} = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

Используем правило цепочки:

$$\frac{d}{dx} u^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’$$

Производная $u’ = (1 — x^2)’ = -2x$, следовательно:

$$\left( \sqrt{1 — x^2} \right)’ = \frac{1}{2\sqrt{1 — x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 — x^2}}$$

Часть 2: $\cos^3 x$

Перепишем как:

$$\cos^3 x = (\cos x)^3$$

Используем правило цепочки:

$$\frac{d}{dx} (\cos x)^3 = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \cdot \sin x$$

Итог:

$$y’ = -\frac{x}{\sqrt{1 — x^2}} — 3\cos^2 x \cdot \sin x$$

б) $y = \dfrac{\sqrt{\tg x}}{x^2 + 1}$

Часть 1: числитель $\sqrt{\tg x}$

Обозначим:

$$u = \tg x \Rightarrow \sqrt{\tg x} = u^{1/2}$$

Производная по правилу цепочки:

$$\frac{d}{dx} u^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’$$

Производная $\tg x$ равна:

$$(\tg x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Следовательно:

$$\left( \sqrt{\tg x} \right)’ = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{\tg x} \cdot \cos^2 x}$$

Часть 2: знаменатель $x^2 + 1$

$(x^2 + 1)’ = 2x$

Применяем правило производной дроби:

$$y’ = \frac{f'(x)g(x) — f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

Подставляем:

$$y’ = \frac{\frac{1}{2\sqrt{\tg x} \cdot \cos^2 x} \cdot (x^2 + 1) — \sqrt{\tg x} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{x^2 + 1}{2\sqrt{\tg x} \cdot \cos^2 x} — 2x \cdot \sqrt{\tg x}$$

Чтобы объединить, домножим второе слагаемое на знаменатель первого:

$$\Rightarrow \frac{x^2 + 1 — 4x \cdot \tg x \cdot \cos^2 x}{2\sqrt{\tg x} \cdot \cos^2 x}$$

Используем тождество:

$$\tg x \cdot \cos^2 x = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$ $$4x \cdot \tg x \cdot \cos^2 x = 2x \cdot \sin 2x$$

Итог:

$$y’ = \frac{x^2 + 1 — 2x \cdot \sin 2x}{2(x^2 + 1)^2 \cdot \sqrt{\tg x} \cdot \cos^2 x}$$

в) $y = \sin^2 x \cdot \cos \sqrt{x}$

Часть 1: $\sin^2 x$

Перепишем как $(\sin x)^2$

По цепочке:

$$\frac{d}{dx} (\sin x)^2 = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x$$

Часть 2: $\cos \sqrt{x}$

Вводим:

$$u = \sqrt{x} \Rightarrow \cos \sqrt{x} = \cos u$$

По цепочке:

$$\frac{d}{dx} \cos u = -\sin u \cdot u’, \quad u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Тогда:

$$\left( \cos \sqrt{x} \right)’ = -\frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

По правилу производной произведения:

$$y’ = (\sin^2 x)’ \cdot \cos \sqrt{x} + \sin^2 x \cdot \left( \cos \sqrt{x} \right)’$$ $$y’ = \sin 2x \cdot \cos \sqrt{x} — \sin^2 x \cdot \frac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

Итог:

$$y’ = \sin 2x \cdot \cos \sqrt{x} — \frac{\sin^2 x \cdot \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

г) $y = \dfrac{\sqrt{\ctg x}}{x^3}$

Часть 1: $\sqrt{\ctg x}$

Пусть $u = \ctg x$, тогда:

$$\sqrt{\ctg x} = u^{1/2}$$

Производная $\ctg x$:

$$(\ctg x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

Применяем цепочку:

$$\frac{d}{dx} \sqrt{\ctg x} = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{\ctg x} \cdot \sin^2 x}$$

Часть 2: знаменатель $x^3$

$$(x^3)’ = 3x^2$$

Применим правило производной дроби:

$$y’ = \frac{f'(x) \cdot x^3 — f(x) \cdot 3x^2}{x^6}$$

Подставим:

$$y’ = \frac{-\frac{x^3}{2\sqrt{\ctg x} \cdot \sin^2 x} — 3x^2 \cdot \sqrt{\ctg x}}{x^6}$$

Объединяем в общую дробь:

Домножим всё к общему знаменателю:

$$= \frac{-x^3 — 6x^2 \cdot \sin^2 x \cdot \ctg x}{2x^6 \cdot \sin^2 x \cdot \sqrt{\ctg x}}$$

Сократим $x^2$ сверху и снизу:

$$= \frac{-x \cdot \sqrt{\tg x} — 6 \cdot \sin^2 x \cdot \sqrt{\ctg x}}{2x^4 \cdot \sin^2 x}$$

Итог:

$$y’ = \frac{-x \cdot \sqrt{\tg x} — 6 \cdot \sin^2 x \cdot \sqrt{\ctg x}}{2x^4 \cdot \sin^2 x}$$