ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 42.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

а) $y=(3x-2{)}^7$ и $x_0=3$;

б) $y=\sqrt{25-9x}$ и $x_0=1$;

в) $y=(4-5x{)}^7$ и $x_0=1$;

г) $y=\sqrt{7x+4}$ и $x_0=3$

а) $y=(3x-2{)}^7$ и $x_0=3$;

Пусть $u=3x-2$, тогда $y=u^7$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(u^7{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (3x-2{)}^{\mathrm{\prime }}=7u^6\cdot 3=21(3x-2{)}^6$;

$y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=21\cdot (3\cdot 3-2{)}^6=21\cdot (9-2{)}^6=3\cdot 7^7$;

б) $y=\sqrt{25-9x}$ и $x_0=1$;

Пусть $u=25-9x$, тогда $y=\sqrt{u}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(\sqrt{u}{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (25-9x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (-9)=-\frac{9}{2\sqrt{25-9x}}$;

$y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=-\frac{9}{2\sqrt{25-9\cdot 1}}=-\frac{9}{2\sqrt{16}}=-\frac{9}{2\cdot 4}=-\frac{9}{8}=-1\frac{1}{8}$;

в) $y=(4-5x{)}^7$ и $x_0=1$;

Пусть $u=4-5x$, тогда $y=u^7$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(u^7{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (4-5x{)}^{\mathrm{\prime }}=7u^6\cdot (-5)=-35(4-5x{)}^6$;

$y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=-35\cdot (4-5\cdot 1{)}^6=-35\cdot (-1{)}^6=-35\cdot 1=-35$;

г) $y=\sqrt{7x+4}$ и $x_0=3$;

Пусть $u=7x+4$, тогда $y=\sqrt{u}$;

$y^{\mathrm{\prime }}=(\sqrt{u}{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (7x+4{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 7=\frac{7}{2\sqrt{7x+4}}$;

$y^{\mathrm{\prime }}(x_0)=\frac{7}{2\sqrt{7\cdot 3+4}}=\frac{7}{2\sqrt{21+4}}=\frac{7}{2\sqrt{25}}=\frac{7}{2\cdot 5}=0,7$

а) $y=(3x-2{)}^7$, $x_0=3$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u=3x-2$$

Шаг 2. Перепишем $y$ как функцию от $u$:

$$y=u^7$$

Шаг 3. Найдём производную по цепному правилу:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$$$\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}(u^7)=7u^6$$$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(3x-2)=3$$

Шаг 4. Умножаем производные:

$$y^{\mathrm{\prime }}=7u^6\cdot 3=21u^6$$

Шаг 5. Подставляем обратно $u=3x-2$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=21(3x-2{)}^6$$

Шаг 6. Вычислим значение производной в точке $x_0=3$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(3)=21(3\cdot 3-2{)}^6=21(9-2{)}^6=21\cdot 7^6$$

Шаг 7. Представим 21 как $3\cdot 7$, тогда:

$$21\cdot 7^6=3\cdot 7\cdot 7^6=3\cdot 7^7$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(3)=3\cdot 7^7$$

б) $y=\sqrt{25-9x}$, $x_0=1$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u=25-9x$$

Шаг 2. Перепишем $y$ как функцию от $u$:

$$y=\sqrt{u}=u^{1\mathrm{/}2}$$

Шаг 3. Найдём производную по цепному правилу:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$$$\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}(u^{1\mathrm{/}2})=\frac{1}{2\sqrt{u}}$$$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(25-9x)=-9$$

Шаг 4. Умножаем производные:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot (-9)=-\frac{9}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 5. Подставляем $u=25-9x$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{9}{2\sqrt{25-9x}}$$

Шаг 6. Вычисляем производную в точке $x_0=1$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(1)=-\frac{9}{2\sqrt{25-9\cdot 1}}=-\frac{9}{2\sqrt{16}}=-\frac{9}{2\cdot 4}=-\frac{9}{8}$$

Шаг 7. Представим результат как смешанное число:

$$-\frac{9}{8}=-1\frac{1}{8}$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(1)=-\frac{9}{8}=-1\frac{1}{8}$$

в) $y=(4-5x{)}^7$, $x_0=1$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u=4-5x$$

Шаг 2. Перепишем $y$ как функцию от $u$:

$$y=u^7$$

Шаг 3. Найдём производную по цепному правилу:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$$$\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}(u^7)=7u^6$$$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(4-5x)=-5$$

Шаг 4. Умножаем производные:

$$y^{\mathrm{\prime }}=7u^6\cdot (-5)=-35u^6$$

Шаг 5. Подставляем $u=4-5x$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=-35(4-5x{)}^6$$

Шаг 6. Подставляем $x_0=1$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(1)=-35(4-5\cdot 1{)}^6=-35(-1{)}^6=-35\cdot 1=-35$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(1)=-35$$

г) $y=\sqrt{7x+4}$, $x_0=3$

Шаг 1. Обозначим внутреннюю функцию:

$$u=7x+4$$

Шаг 2. Перепишем $y$ как $y=\sqrt{u}=u^{1\mathrm{/}2}$

Шаг 3. Найдём производную по цепному правилу:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$$$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2\sqrt{u}},\frac{du}{dx}=7$$

Шаг 4. Умножаем:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 7=\frac{7}{2\sqrt{u}}$$

Шаг 5. Подставляем $u=7x+4$:

$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{7}{2\sqrt{7x+4}}$$

Шаг 6. Вычисляем при $x_0=3$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(3)=\frac{7}{2\sqrt{7\cdot 3+4}}=\frac{7}{2\sqrt{21+4}}=\frac{7}{2\sqrt{25}}=\frac{7}{2\cdot 5}=\frac{7}{10}$$

Шаг 7. В десятичной форме:

$$\frac{7}{10}=\mathrm{0,7}$$

Ответ:

$$y^{\mathrm{\prime }}(3)=\frac{7}{10}=\mathrm{0,7}$$