ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции у = f(x), в точках с абсциссами а, b, с:

a) рис. 90;

б) рис. 91.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к данной точке графика функции, равен ее производной в этой же точке, то есть он отрицателен, если функция убывает и положителен, если функция возрастает;

а) Рисунок 90:

В точке $a$ находится вершина функции, значит $k = 0$;

В точке $b$ функция убывает, значит $k < 0$;

В точке $c$ функция возрастает, значит $k > 0$;

б) Рисунок 91:

В точках $a$ и $b$ функция убывает, значит $k < 0$;

В точке $c$ функция возрастает, значит $k > 0$;

Угловой коэффициент касательной, проведенной к данной точке графика функции, равен её производной в этой же точке, то есть он отрицателен, если функция убывает, и положителен, если функция возрастает.

Для понимания этого утверждения, давайте рассмотрим концепции, которые лежат в его основе:

• Касательная к графику функции: Это прямая, которая проходит через точку на графике функции и имеет такой же угол наклона, как и график функции в этой точке. Геометрически, касательная «прикасается» к графику функции в точке без пересечения его в этой окрестности.
• Угловой коэффициент касательной: Это величина, которая характеризует наклон прямой. Если угловой коэффициент положителен, то прямая наклонена вверх (функция возрастает), а если отрицателен — наклонена вниз (функция убывает). В математике угловой коэффициент касательной в точке на графике функции равен производной функции в этой точке, то есть:

$$k = f'(x)$$

где $k$ — угловой коэффициент, а $f'(x)$ — производная функции в точке $x$.

Таким образом, для каждого участка графика функции можно определить поведение функции через её производную:

• Если производная положительна, то функция возрастает на этом участке.
• Если производная отрицательна, то функция убывает на этом участке.
• Если производная равна нулю, то график функции горизонтален, и, возможно, это точка экстремума (минимум или максимум).

а) Рисунок 90:

Предположим, что на рисунке 90 изображён график функции, и мы знаем следующие точки: $a$, $b$, и $c$. Мы определим, какие значения имеет угловой коэффициент касательной в этих точках.

1. Точка $a$:

   В точке $a$ на графике функции находится вершина. Вершина — это точка, где функция достигает экстремума, то есть максимума или минимума. В этой точке наклон графика изменяется, и касательная к графику функции будет горизонтальной. Таким образом, угловой коэффициент касательной будет равен нулю, что означает:

   $$k = 0.$$

   Ответ: В точке $a$ $k = 0$, так как функция имеет экстремум.

2. Точка $b$:

   В точке $b$ функция убывает. Это означает, что график функции наклонён вниз в этой точке. Угловой коэффициент касательной будет отрицателен. Поскольку функция убывает, производная функции в этой точке будет меньше нуля, что значит:

   $$k < 0.$$

   Ответ: В точке $b$ $k < 0$, так как функция убывает.

3. Точка $c$:

   В точке $c$ функция возрастает. Это означает, что график функции наклонён вверх в этой точке. Угловой коэффициент касательной будет положителен. Поскольку функция возрастает, производная функции в этой точке будет больше нуля, что значит:

   $$k > 0.$$

   Ответ: В точке $c$ $k > 0$, так как функция возрастает.

б) Рисунок 91:

Предположим, что на рисунке 91 изображён другой график функции, и мы также рассматриваем точки $a$, $b$, и $c$. На основе того, как выглядит график, можно определить поведение функции в этих точках.

1. Точка $a$:

   В точке $a$ функция убывает, так как график функции наклонён вниз. Следовательно, угловой коэффициент касательной будет отрицателен, и производная функции в этой точке также будет меньше нуля:

   $$k < 0.$$

   Ответ: В точке $a$ $k < 0$, так как функция убывает.

2. Точка $b$:

   В точке $b$ функция также убывает. Это означает, что график функции продолжает наклоняться вниз. Таким образом, угловой коэффициент касательной также будет отрицателен, и производная функции в этой точке также будет меньше нуля:

   $$k < 0.$$

   Ответ: В точке $b$ $k < 0$, так как функция убывает.

3. Точка $c$:

   В точке $c$ функция возрастает, так как график функции наклонён вверх. Следовательно, угловой коэффициент касательной будет положителен, и производная функции в этой точке будет больше нуля:

   $$k > 0.$$

   Ответ: В точке $c$ $k > 0$, так как функция возрастает.

Итог:

• В точке $a$ на обоих рисунках угловой коэффициент касательной $k = 0$ в случае вершины, где функция достигает экстремума (минимума или максимума).
• В точке $b$ на обоих рисунках функция убывает, и угловой коэффициент $k < 0$.
• В точке $c$ на обоих рисунках функция возрастает, и угловой коэффициент $k > 0$.

Это подтверждает важное правило: если функция убывает, её производная (и угловой коэффициент касательной) отрицательна, если функция возрастает — положительна, а если функция имеет горизонтальную касательную, её производная равна нулю.