ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в каждой из указанных точек:

a) $f(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-5x+6\mathrm{\mid }$

б) $f(x)=\mathrm{\mid }-x^2+2x+3\mathrm{\mid }$

a) $f(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-5x+6\mathrm{\mid }$

Решаем уравнение $x^2-5x+6=0$:

$$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1$$

Тогда:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Разложение на множители:

$$(x-2)(x-3)\ge 0$$

Отсюда:

$$x\le 2\text{ или }x\ge 3$$

По определению модуля числа:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-5x+6,& \text{если }x\le 2\text{ или }x\ge 3\\ -x^2+5x-6,& \text{если }2<x<3\end{array}$$

Находим производные:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}(x^2-5x+6{)}^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(5x{)}^{\mathrm{\prime }}+(6{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-5,& x\le 2\text{ или }x\ge 3\\ (-x^2+5x-6{)}^{\mathrm{\prime }}=-(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(5x{)}^{\mathrm{\prime }}-(6{)}^{\mathrm{\prime }}=-2x+5,& 2<x<3\end{array}$$

Вычисляем значения производной в заданных точках:

$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=2x-5=2\cdot 0-5=-5$$$$f^{\mathrm{\prime }}(2.5)=-2x+5=-2\cdot 2.5+5=-5+5=0$$$$f^{\mathrm{\prime }}(4)=2x-5=2\cdot 4-5=8-5=3$$

Ответ: $-5;0;3$.

б) $f(x)=\mathrm{\mid }-x^2+2x+3\mathrm{\mid }$

Решаем уравнение $-x^2+2x+3=0$:

$$x^2-2x-3=0$$$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$$

Тогда:

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,x_2=\frac{2+4}{2}=3$$

Разложение на множители:

$$(x+1)(x-3)\ge 0$$

Отсюда:

$$-1\le x\le 3$$

По определению модуля числа:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+2x+3,& \text{если }-1\le x\le 3\\ x^2-2x-3,& \text{если }x<-1\text{ или }x>3\end{array}$$

Находим производные:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}(-x^2+2x+3{)}^{\mathrm{\prime }}=-(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}+(2x{)}^{\mathrm{\prime }}+(3{)}^{\mathrm{\prime }}=-2x+2,& -1\le x\le 3\\ (x^2-2x-3{)}^{\mathrm{\prime }}=(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}-(2x{)}^{\mathrm{\prime }}-(3{)}^{\mathrm{\prime }}=2x-2,& x<-1\text{ или }x>3\end{array}$$

Вычисляем значения производной в заданных точках:

$$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=2x-2=2\cdot (-2)-2=-4-2=-6$$$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-2x+2=-2\cdot 1+2=-2+2=0$$$$f^{\mathrm{\prime }}(2)=-2x+2=-2\cdot 2+2=-4+2=-2$$

Ответ: $-6;0;-2$.

а) $f(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-5x+6\mathrm{\mid }$

Шаг 1: Найдём нули выражения под модулем

Найдём, при каких значениях $x$ выражение под модулем $x^2-5x+6$ обращается в ноль:

$$x^2-5x+6=0$$

Это квадратное уравнение. Для решения найдём дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$$

Корни по формуле:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$

Получаем:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2,x_2=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Шаг 2: Знаки выражения под модулем

Выражение $x^2-5x+6$ раскладывается:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Исследуем знак произведения:

• Интервал $x<2$: оба множителя отрицательны → знак положительный.
• Интервал $2<x<3$: один множитель отрицательный, другой положительный → знак отрицательный.
• Интервал $x>3$: оба множителя положительны → знак положительный.

Таким образом, неравенство:

$$(x-2)(x-3)\ge 0\Rightarrow x\le 2\text{или}x\ge 3$$

Шаг 3: Раскрытие модуля по определению

Модуль функции определяется так:

$$f(x)=\mathrm{\mid }{x}^2-5x+6\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}{x}^2-5x+6,& \text{если }x\le 2\text{ или }x\ge 3\\ -(x^2-5x+6)=-x^2+5x-6,& \text{если }2<x<3\end{array}$$

Шаг 4: Найдём производную функции $f(x)$

Функция кусочная, поэтому берём производные отдельно на каждом участке:

Для $x\le 2$ или $x\ge 3$:

$$f(x)=x^2-5x+6\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}(x^2)-\frac{d}{dx}(5x)+\frac{d}{dx}(6)=2x-5$$

Для $2<x<3$:

$$f(x)=-x^2+5x-6\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}(-x^2)+\frac{d}{dx}(5x)-\frac{d}{dx}(6)=-2x+5$$

Итак:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x-5,& x\le 2\text{ или }x\ge 3\\ -2x+5,& 2<x<3\end{array}$$

Шаг 5: Вычислим производные в указанных точках

• Точка $x=0$. Это попадает в область $x\le 2$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=2\cdot 0-5=-5$$

• Точка $x=2.5$. Это попадает в область $2<x<3$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(2.5)=-2\cdot 2.5+5=-5+5=0$$

• Точка $x=4$. Это попадает в область $x\ge 3$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(4)=2\cdot 4-5=8-5=3$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -5;0;3}}$$

б) $f(x)=\mathrm{\mid }-x^2+2x+3\mathrm{\mid }$

Шаг 1: Найдём нули выражения под модулем

Рассмотрим:

$$-x^2+2x+3=0$$

Умножим на $-1$, чтобы привести к стандартному виду:

$$x^2-2x-3=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}\Rightarrow x_1=-1,x_2=3$$

Шаг 2: Знаки выражения под модулем

Возвращаемся к исходному виду:

$$-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)$$

Исследуем знак:

• Интервал $x<-1$: оба множителя отрицательны → произведение положительно, но перед скобкой минус → общее значение отрицательно.
• Интервал $-1<x<3$: один множитель отрицателен, другой положителен → произведение отрицательное, с минусом → значение положительное.
• Интервал $x>3$: оба положительны → произведение положительное, с минусом → значение отрицательное.

Вывод: выражение под модулем неотрицательно на отрезке:

$$-1\le x\le 3$$

Шаг 3: Раскрытие модуля

$$f(x)=\mathrm{\mid }-x^2+2x+3\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}-x^2+2x+3,& \text{если }-1\le x\le 3\\ x^2-2x-3,& \text{если }x<-1\text{ или }x>3\end{array}$$

Шаг 4: Найдём производную функции

На участке $-1\le x\le 3$:

$$f(x)=-x^2+2x+3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+2$$

На участках $x<-1$ и $x>3$:

$$f(x)=x^2-2x-3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-2$$

Итак:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+2,& \text{если }-1\le x\le 3\\ 2x-2,& \text{если }x<-1\text{ или }x>3\end{array}$$

Шаг 5: Вычислим значения производной

• Точка $x=-2$. Это попадает в $x<-1$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(-2)=2\cdot (-2)-2=-4-2=-6$$

• Точка $x=1$. Это в интервале $[-1,3]$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-2\cdot 1+2=-2+2=0$$

• Точка $x=2$. Это также в интервале $[-1,3]$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(2)=-2\cdot 2+2=-4+2=-2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -6;0;-2}}$$