ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите ту точку графика функции у = f(x), в которой угловой коэффициент касательной равен k:

а) $f(x) = 1{,}5x^2 — x + 1$ и $k = 2$;

б) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ и $k = 3$;

в) $f(x) = x^3 — 2x^2 + x$ и $k = 1$;

г) $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ и $k = -3$

а) $f(x) = 1{,}5x^2 — x + 1$ и $k = 2$;

$$f'(x) = 1{,}5(x^2)’ — (x — 1)’ = 1{,}5 \cdot 2x — 1 = 3x — 1;$$ $$3x — 1 = 2;$$ $$3x = 3, \text{ отсюда } x = 1;$$ $$y = 1{,}5 \cdot 1^2 — 1 + 1 = 1{,}5;$$

Ответ: $(1; 1{,}5)$.

б) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ и $k = 3$;

$$f'(x) = (x)’ + \left(\frac{1}{x}\right)’ = 1 — \frac{1}{x^2};$$ $$1 — \frac{1}{x^2} = 3;$$ $$-2 = \frac{1}{x^2} \quad | \cdot x^2;$$ $$-2x^2 = 1;$$ $$x^2 = -\frac{1}{2} \quad \text{— корней нет.}$$

Ответ: таких точек не существует.

в) $f(x) = x^3 — 2x^2 + x$ и $k = 1$;

$$f'(x) = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (x)’ = 3x^2 — 2 \cdot 2x + 1 = 3x^2 — 4x + 1;$$ $$3x^2 — 4x + 1 = 1;$$ $$3x^2 — 4x = 0;$$ $$x(3x — 4) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4}{3};$$ $$y_1 = 0^3 — 2 \cdot 0^2 + 0 = 0;$$ $$y_2 = \left(\frac{4}{3}\right)^3 — 2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{4}{3} = \frac{64}{27} — 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{4}{3} = \frac{64 — 96 + 36}{27} = \frac{4}{27};$$

Ответ: $(0; 0); \left(\frac{4}{3}; \frac{4}{27}\right)$.

г) $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ и $k = -3$;

$$f'(x) = \frac{1}{2}(x)’ + 2\left(\frac{1}{x}\right)’ = \frac{1}{2} — \frac{2}{x^2};$$ $$\frac{1}{2} — \frac{2}{x^2} = -3 \quad | \cdot 2x^2;$$ $$x^2 — 4 = -3 \cdot 2x^2;$$ $$x^2 — 4 = -6x^2;$$ $$7x^2 = 4;$$ $$x^2 = \frac{4}{7}, \text{ отсюда } x = \pm \frac{2}{\sqrt{7}} = \pm \frac{2\sqrt{7}}{7};$$ $$y_1 = -\frac{2}{\sqrt{7}} : 2 + 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{2}\right) = -\frac{1}{\sqrt{7}} — \sqrt{7} = -\frac{8\sqrt{7}}{7};$$ $$y_2 = \frac{2}{\sqrt{7}} : 2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{1}{\sqrt{7}} + \sqrt{7} = \frac{8\sqrt{7}}{7};$$

Ответ: $\left(-\frac{2\sqrt{7}}{7}; -\frac{8\sqrt{7}}{7}\right); \left(-\frac{2\sqrt{7}}{7}; -\frac{8\sqrt{7}}{7}\right)$.

а)

Функция:

$$f(x) = 1{,}5x^2 — x + 1, \quad \text{и заданный угловой коэффициент } k = 2.$$

Найти точки на графике функции, в которых касательная имеет угловой коэффициент $k = 2$.

1. Найдём производную функции $f(x)$

Поскольку $f(x) = 1{,}5x^2 — x + 1$, применяем правило производной суммы:

$$f'(x) = (1{,}5x^2)’ — (x)’ + (1)’.$$

Вычислим каждую производную:

• $(1{,}5x^2)’ = 1{,}5 \cdot 2x = 3x$,
• $(x)’ = 1$,
• $(1)’ = 0$ (константа).

Значит:

$$f'(x) = 3x — 1.$$

2. Приравниваем производную к заданному значению углового коэффициента $k = 2$:

$$3x — 1 = 2.$$

Решим уравнение:

$$3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1.$$

3. Найдём соответствующее значение функции $f(x)$ при $x = 1$:

$$f(1) = 1{,}5 \cdot 1^2 — 1 + 1 = 1{,}5 — 1 + 1 = 1{,}5.$$

Ответ:

$$\boxed{(1;\ 1{,}5)}.$$

б)

Функция:

$$f(x) = x + \frac{1}{x}, \quad k = 3.$$

1. Найдём производную:

Используем правила:

• $(x)’ = 1$,
• $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$.

$$f'(x) = 1 — \frac{1}{x^2}.$$

2. Приравниваем производную к $k = 3$:

$$1 — \frac{1}{x^2} = 3.$$

Решим уравнение:

$$— \frac{1}{x^2} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^2} = -2.$$

Это невозможно, так как выражение $\frac{1}{x^2}$ всегда положительно при любом $x \ne 0$.

Ответ:

$$\boxed{\text{Таких точек не существует.}}$$

в)

Функция:

$$f(x) = x^3 — 2x^2 + x, \quad k = 1.$$

1. Найдём производную:

$$f'(x) = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (x)’.$$

Используем:

• $(x^3)’ = 3x^2$,
• $(x^2)’ = 2x$,
• $(x)’ = 1$.

$$f'(x) = 3x^2 — 4x + 1.$$

2. Приравниваем производную к $k = 1$:

$$3x^2 — 4x + 1 = 1.$$ $$3x^2 — 4x = 0.$$

Вынесем $x$ за скобку:

$$x(3x — 4) = 0.$$ $$x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{4}{3}.$$

3. Найдём значения функции при этих $x$:

• Для $x = 0$:

  $$f(0) = 0^3 — 2 \cdot 0^2 + 0 = 0.$$

• Для $x = \frac{4}{3}$:

  Найдём:

  $$f\left( \frac{4}{3} \right) = \left( \frac{4}{3} \right)^3 — 2 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^2 + \frac{4}{3}.$$

  Подсчёт:

  $$\left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{64}{27}, \quad \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9},$$ $$2 \cdot \frac{16}{9} = \frac{32}{9}, \quad \frac{4}{3} = \frac{36}{27}.$$

  Теперь подставим:

  $$f\left( \frac{4}{3} \right) = \frac{64}{27} — \frac{96}{27} + \frac{36}{27} = \frac{4}{27}.$$

Ответ:

$$\boxed{(0;\ 0);\ \left( \frac{4}{3};\ \frac{4}{27} \right)}.$$

г)

Функция:

$$f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, \quad k = -3.$$

1. Найдём производную:

Разделим на части:

• $\left( \frac{x}{2} \right)’ = \frac{1}{2}$,
• $\left( \frac{2}{x} \right)’ = -\frac{2}{x^2}$.

Значит:

$$f'(x) = \frac{1}{2} — \frac{2}{x^2}.$$

2. Приравниваем к $k = -3$:

$$\frac{1}{2} — \frac{2}{x^2} = -3.$$

Умножим обе части уравнения на $2x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x^2 — 4 = -6x^2.$$ $$x^2 + 6x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad 7x^2 = 4.$$ $$x^2 = \frac{4}{7} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2}{\sqrt{7}} = \pm \frac{2\sqrt{7}}{7}.$$

3. Найдём значения функции при этих $x$:

Для $x = -\frac{2\sqrt{7}}{7}$:

1. Найдём $\frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{7}}{7}$,
2. Найдём $\frac{2}{x} = -\frac{7}{\sqrt{7}} = -\sqrt{7}$,
3. Складываем:

$$f(x) = -\frac{\sqrt{7}}{7} — \sqrt{7} = -\frac{8\sqrt{7}}{7}.$$

Для $x = \frac{2\sqrt{7}}{7}$:

Аналогично:

$$f(x) = \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{7} = \frac{8\sqrt{7}}{7}.$$

Ответ:

$$\boxed{ \left( -\frac{2\sqrt{7}}{7};\ -\frac{8\sqrt{7}}{7} \right);\quad \left( \frac{2\sqrt{7}}{7};\ \frac{8\sqrt{7}}{7} \right) }$$