ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите ту точку графика функции у = f(x), в которой угловой коэффициент касательной равен k:

а) $f(x)=\arcsin 2x$ и $k=2$;

б) $f(x)=x-\arccos x$ и $k=2$;

в) $f(x)=3+\mathrm{arctg}x$ и $k=\frac{1}{2}$;

г) $f(x)=\mathrm{arcctg}3x$ и $k=3$

а) $f(x)=\arcsin 2x$ и $k=2$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(\arcsin 2x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$;

$\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}=2\mathrm{\mid }:1;$

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1;$

$1=\sqrt{1-x^2};$

$1=1-x^2;$

$x^2=0$, отсюда $x=0$;

$y=\arcsin (2\cdot 0)=\arcsin 0=0$;

Ответ: $(0;0)$.

б) $f(x)=x-\arccos x$ и $k=2$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x{)}^{\mathrm{\prime }}-(\arccos x{)}^{\mathrm{\prime }}=1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$;

$1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=2;$

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1;$

$1=\sqrt{1-x^2};$

$1=1-x^2;$

$x^2=0$, отсюда $x=0$;

$y=0-\arccos 0=-\frac{\pi }{2}$;

Ответ: $(0;-\frac{\pi }{2})$.

в) $f(x)=3+\mathrm{arctg}x$ и $k=\frac{1}{2}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(3{)}^{\mathrm{\prime }}+(\mathrm{arctg}x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{1+x^2}$;

$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2};$

$1+x^2=2;$

$x^2=1$, отсюда $x=\pm 1$;

$y_1=3+\mathrm{arctg}(-1)=3-\frac{\pi }{4};$

$y_2=3+\mathrm{arctg}(1)=3+\frac{\pi }{4};$

Ответ: $(-1;3-\frac{\pi }{4});(1;3+\frac{\pi }{4})$.

г) $f(x)=\mathrm{arcctg}3x$ и $k=3$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(\mathrm{arcctg}3x{)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{3}{1+x^2}$;

$-\frac{3}{1+x^2}=3\mathrm{\mid }:3;$

$-\frac{1}{1+x^2}=1;$

$-1=1+x^2;$

$x^2=-2$ — корней нет.

Ответ: таких точек не существует.

а)

Дано:
$f(x)=\arcsin (2x),$$k=2$ — найти такие точки графика, где производная функции равна $k=2$.

Шаг 1. Найдём производную:
Используем правило производной сложной функции:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\arcsin (2x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$$

Шаг 2. Приравниваем производную к 2:

$$\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}=2$$

Шаг 3. Делим обе части уравнения на 2:

$$\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}=1$$

Шаг 4. Переворачиваем обе части:

$$\sqrt{1-4x^2}=1$$

Шаг 5. Возводим обе части в квадрат:

$$1-4x^2=1$$

Шаг 6. Вычитаем 1 из обеих сторон:

$$-4x^2=0$$

Шаг 7. Делим обе части на -4:

$$x^2=0\Rightarrow x=0$$

Шаг 8. Подставляем найденный $x$ в исходную функцию для вычисления $y$:

$$y=\arcsin (2\cdot 0)=\arcsin (0)=0$$

Ответ: $$$(0;0)$

б)

Дано:
$f(x)=x-\arccos x,k=2$

Шаг 1. Найдём производную:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}(x-\arccos x)=1-(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})=1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Шаг 2. Приравниваем производную к 2:

$$1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=2$$

Шаг 3. Вычтем 1 из обеих сторон:

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1$$

Шаг 4. Переворачиваем обе части:

$$\sqrt{1-x^2}=1$$

Шаг 5. Возводим обе части в квадрат:

$$1-x^2=1\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$$

Шаг 6. Вычисляем $y$:

$$y=f(0)=0-\arccos (0)=-\frac{\pi }{2}$$

Ответ: $$$(0;-\frac{\pi }{2})$

в)

Дано:
$f(x)=3+\mathrm{arctg}x,k=\frac{1}{2}$

Шаг 1. Производная:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}(3+\mathrm{arctg}x)=0+\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}$$

Шаг 2. Приравниваем к $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}$$

Шаг 3. Переворачиваем обе части:

$$1+x^2=2$$

Шаг 4. Решаем:

$$x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$$

Шаг 5. Вычисляем соответствующие значения $y$:

• При $x=-1$:$$y=3+\mathrm{arctg}(-1)=3-\frac{\pi }{4}$$
• При $x=1$:$$y=3+\mathrm{arctg}(1)=3+\frac{\pi }{4}$$

Ответ:

$$(-1;3-\frac{\pi }{4});(1;3+\frac{\pi }{4})$$

г)

Дано:
$f(x)=\mathrm{arcctg}(3x),k=3$

Шаг 1. Производная:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}(\mathrm{arcctg}(3x))=-\frac{3}{1+(3x{)}^2}=-\frac{3}{1+9x^2}$$

Шаг 2. Приравниваем к 3:

$$-\frac{3}{1+9x^2}=3$$

Шаг 3. Делим обе части на 3:

$$-\frac{1}{1+9x^2}=1$$

Шаг 4. Умножаем обе части на $1+9x^2$:

$$-1=1+9x^2$$

Шаг 5. Вычитаем 1 из обеих сторон:

$$-2=9x^2\Rightarrow x^2=-\frac{2}{9}$$

Шаг 6. Так как квадрат не может быть отрицательным — решений нет.

Ответ: Таких точек не существует.