ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x)=4+x^2$ и $a=2$;

б) $f(x)=1-\frac{1}{x}$ и $a=3$;

в) $f(x)=(1-x{)}^3$ и $a=-3$;

г) $f(x)=2x-x^3$ и $a=1$

а) $f(x)=4+x^2$ и $a=2$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(4{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=0+2x=2x$;

$f^{\mathrm{\prime }}(a)=2\cdot 2=4$;

$\mathrm{tg}\phi =4$, отсюда $\phi =\mathrm{arctg}4\approx {\mathrm{75,96}}^{\circ }$;

Ответ: $\mathrm{arctg}4\approx {\mathrm{75,96}}^{\circ }$.

б) $f(x)=1-\frac{1}{x}$ и $a=3$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1{)}^{\mathrm{\prime }}-{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=0-(-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2}$;

$f^{\mathrm{\prime }}(a)=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$;

$\mathrm{tg}\phi =\frac{1}{9}$, отсюда $\phi =\mathrm{arctg}\frac{1}{9}\approx {\mathrm{6,34}}^{\circ }$;

Ответ: $\mathrm{arctg}\frac{1}{9}\approx {\mathrm{6,34}}^{\circ }$.

в) $f(x)=(1-x{)}^3$ и $a=-3$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x{)}^3=-3(1-x{)}^2$;

$f^{\mathrm{\prime }}(a)=-3(1+3{)}^2=-3\cdot 4^2=-3\cdot 16=-48$;

$\mathrm{tg}\phi =-48$, отсюда $\phi =-\mathrm{arctg}48\approx {\mathrm{88,81}}^{\circ }$;

Ответ: $-\mathrm{arctg}48\approx \; -{\mathrm{88,81}}^{\circ }$.

г) $f(x)=2x-x^3$ и $a=1$;

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x{)}^{\mathrm{\prime }}-(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}=2-3x^2$;

$f^{\mathrm{\prime }}(a)=2-3\cdot 1^2=2-3=-1$;

$\mathrm{tg}\phi =-1$, отсюда $\phi =-\mathrm{arctg}1=-\frac{\pi }{4}=-{45}^{\circ }$;

Ответ: $-\frac{\pi }{4}=-{45}^{\circ }$.

а) $f(x)=4+x^2$, $a=2$

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$$f(x)=4+x^2$$

Производная суммы равна сумме производных:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(4{)}^{\mathrm{\prime }}+(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}$$

• $(4{)}^{\mathrm{\prime }}=0$, так как производная постоянной величины равна нулю;
• $(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2x$, по правилу дифференцирования степенной функции.

Следовательно:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0+2x=2x$$

2. Найдём значение производной в точке $a=2$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(2)=2\cdot 2=4$$

3. Это и есть угловой коэффициент касательной. Вспомним, что:

$$\mathrm{tg}\phi =f^{\mathrm{\prime }}(a)$$

Значит:

$$\mathrm{tg}\phi =4$$

4. Выразим угол наклона касательной через арктангенс:

$$\phi =\arctan (4)$$

В градусах (по калькулятору):

$$\phi \approx {\mathrm{75,96}}^{\circ }$$

Ответ:

$$\arctan 4\approx {\mathrm{75,96}}^{\circ }$$

б) $f(x)=1-\frac{1}{x}$, $a=3$

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$$f(x)=1-\frac{1}{x}$$

Производная разности равна разности производных:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1{)}^{\mathrm{\prime }}-{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}$$

• $(1{)}^{\mathrm{\prime }}=0$, потому что производная константы равна нулю;
• ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-\frac{1}{x^2}$, по правилу дифференцирования $x^{-1}$.

Итак:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0-(-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2}$$

2. Вычислим производную в точке $a=3$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(3)=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$$

3. Найдём угол наклона касательной:

$$\mathrm{tg}\phi =f^{\mathrm{\prime }}(3)=\frac{1}{9}$$$$\phi =\arctan \left(\frac{1}{9}\right)$$

По калькулятору:

$$\phi \approx {\mathrm{6,34}}^{\circ }$$

Ответ:

$$\arctan \left(\frac{1}{9}\right)\approx {\mathrm{6,34}}^{\circ }$$

в) $f(x)=(1-x{)}^3$, $a=-3$

1. Найдём производную функции $f(x)$:

Используем правило производной сложной функции:

$$f(x)=(1-x{)}^3$$

Обозначим:

• Внутренняя функция: $u(x)=1-x$
• Внешняя функция: $f(u)=u^3$

Тогда по правилу цепочки:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(1-x{)}^2\cdot (-1)=-3(1-x{)}^2$$

2. Подставим $x=-3$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(-3)=-3(1-(-3){)}^2=-3(1+3{)}^2=-3\cdot 4^2=-3\cdot 16=-48$$

3. Найдём угол:

$$\mathrm{tg}\phi =-48$$$$\phi =\arctan (-48)$$

По калькулятору:

$$\phi \approx -{\mathrm{88,81}}^{\circ }$$

(то есть касательная сильно наклонена вниз)

Ответ:

$$\arctan (-48)\approx -{\mathrm{88,81}}^{\circ }$$

или

$$-\arctan 48\approx -{\mathrm{88,81}}^{\circ }$$

г) $f(x)=2x-x^3$, $a=1$

1. Найдём производную функции:

$$f(x)=2x-x^3$$

Дифференцируем каждое слагаемое:

• $(2x{)}^{\mathrm{\prime }}=2$
• $(x^3{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2$

Следовательно:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2-3x^2$$

2. Подставим $x=1$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=2-3\cdot 1^2=2-3=-1$$

3. Найдём угол:

$$\mathrm{tg}\phi =-1$$$$\phi =\arctan (-1)$$

Значение:

$$\phi =-\frac{\pi }{4}=-{45}^{\circ }$$

Ответ:

$$-\frac{\pi }{4}=-{45}^{\circ }$$