ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = x^2$ и $a = 0{,}5$;

б) $f(x) = -3x^3$ и $a = \frac{1}{3}$;

в) $f(x) = 0{,}2x^5$ и $a = -1$;

г) $f(x) = -0{,}25x^4$ и $a = 0$

а) $f(x) = x^2$ и $a = 0{,}5$;

$f'(x) = (x^2)’ = 2x$;

$f'(a) = 2 \cdot 0{,}5 = 1$;

$\operatorname{tg} \varphi = 1$, отсюда $\varphi = \arctg 1 = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$.

б) $f(x) = -3x^3$ и $a = \frac{1}{3}$;

$f'(x) = -3(x^3)’ = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$;

$f'(a) = -9 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 = -9 \cdot \frac{1}{9} = -1$;

$\operatorname{tg} \varphi = -1$, отсюда $\varphi = -\arctg 1 = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ$;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$.

в) $f(x) = 0{,}2x^5$ и $a = -1$;

$f'(x) = 0{,}2(x^5)’ = 0{,}2 \cdot 5x^4 = x^4$;

$f'(a) = (-1)^4 = 1$;

$\operatorname{tg} \varphi = 1$, отсюда $\varphi = \arctg 1 = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$.

г) $f(x) = -0{,}25x^4$ и $a = 0$;

$f'(x) = -0{,}25 \cdot 0^4 = 0$;

$\operatorname{tg} \varphi = 0$, отсюда $\varphi = \arctg 0 = 0$;

Ответ: $0$.

а) $f(x) = x^2$, $a = 0{,}5$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x) = x^2$:

По правилу дифференцирования степени:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

Шаг 2. Найдём значение производной в точке $x = a = 0{,}5$:

$$f'(0{,}5) = 2 \cdot 0{,}5 = 1$$

Шаг 3. Угловой коэффициент касательной в точке $x = 0{,}5$ равен производной:

$$k = f'(0{,}5) = 1$$

Шаг 4. Найдём угол наклона касательной:
Угловой коэффициент касательной — это тангенс угла наклона $\varphi$, т.е.:

$$\tan(\varphi) = 1$$

Решаем:

$$\varphi = \arctg(1) = \frac{\pi}{4} \text{ (в радианах)} = 45^\circ \text{ (в градусах)}$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$

б) $f(x) = -3x^3$, $a = \frac{1}{3}$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x) = -3x^3$:

Применим правило дифференцирования и вынесем константу:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(-3x^3) = -3 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$$

Шаг 2. Подставим $x = \frac{1}{3}$ в производную:

$$f’\left(\frac{1}{3}\right) = -9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = -9 \cdot \frac{1}{9} = -1$$

Шаг 3. Тангенс угла наклона касательной:

$$\tan(\varphi) = -1$$

Шаг 4. Найдём сам угол:

$$\varphi = \arctg(-1) = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$

в) $f(x) = 0{,}2x^5$, $a = -1$

Шаг 1. Найдём производную:

Применим правило:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(0{,}2x^5) = 0{,}2 \cdot \frac{d}{dx}(x^5) = 0{,}2 \cdot 5x^4 = x^4$$

(Замечание: $0{,}2 \cdot 5 = 1$, поэтому получается просто $x^4$)

Шаг 2. Подставим значение точки $a = -1$:

$$f'(-1) = (-1)^4 = 1$$

Шаг 3. Тангенс угла наклона касательной:

$$\tan(\varphi) = 1$$

Шаг 4. Найдём угол:

$$\varphi = \arctg(1) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$

г) $f(x) = -0{,}25x^4$, $a = 0$

Шаг 1. Найдём производную:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(-0{,}25x^4) = -0{,}25 \cdot \frac{d}{dx}(x^4) = -0{,}25 \cdot 4x^3 = -x^3$$

(Замечание: $-0{,}25 \cdot 4 = -1$)

Шаг 2. Подставим $x = 0$:

$$f'(0) = -(0)^3 = 0$$

Шаг 3. Тангенс угла наклона:

$$\tan(\varphi) = 0$$

Шаг 4. Найдём угол:

$$\varphi = \arctg(0) = 0$$

Ответ: $0$