ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = \frac{2x-1}{3-2x}$ и $a = \frac{1}{2}$;

б) $f(x) = \frac{x-1}{x-2}$ и $a = 1$

а) $f(x) = \frac{2x-1}{3-2x}$ и $a = \frac{1}{2}$;

$$f'(x) = \frac{(2x-1)'(3-2x) — (2x-1)(3-2x)’}{(3-2x)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2(3-2x) — (2x-1)\cdot(-2)}{(3-2x)^2} = \frac{6 — 4x + 4x — 2}{(3-2x)^2} = \frac{4}{(3-2x)^2};$$ $$f'(a) = \frac{4}{\left(3 — 2 \cdot \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{4}{(3 — 1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$\tg \varphi = 1, \text{отсюда } \varphi = \arctg 1 = \frac{\pi}{4} = 45^\circ;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$.

б) $f(x) = \frac{x-1}{x-2}$ и $a = 1$;

$$f'(x) = \frac{(x-1)'(x-2) — (x-1)(x-2)’}{(x-2)^2};$$ $$f'(x) = \frac{(x-2) — (x-1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2};$$ $$f'(a) = \frac{-1}{(1 — 2)^2} = \frac{-1}{(-1)^2} = \frac{-1}{1} = -1;$$ $$\tg \varphi = -1, \text{отсюда } \varphi = -\arctg 1 = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$.

а) $f(x) = \dfrac{2x-1}{3-2x}$, $a = \dfrac{1}{2}$

Шаг 0. Область определения и проверка точки

Функция дробно-рациональная, знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$3-2x \neq 0 \;\;\Rightarrow\;\; x \neq \frac{3}{2}.$$

Точка $a=\frac{1}{2}$ допустима (не равна $\frac{3}{2}$), значит производную и касательную в этой точке искать можно.

Шаг 1. Обозначим числитель и знаменатель

Пусть

$$u(x)=2x-1,\qquad v(x)=3-2x,\qquad f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.$$

Шаг 2. Вспомним правило производной частного

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-u\,v’}{v^2}, \quad v(x)\neq 0.$$

Шаг 3. Найдём производные $u'(x)$ и $v'(x)$

$$u'(x)=(2x-1)’=2,\qquad v'(x)=(3-2x)’=-2$$

(поскольку производная константы 3 равна 0, а $({-}2x)’=-2$).

Шаг 4. Применим формулу производной частного и упростим

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x-1{)}^{\mathrm{\prime }}(3-2x)-(2x-1)(3-2x{)}^{\mathrm{\prime }}}{(3-2x{)}^2}=$$

$$f'(x)=\frac{(2x-1)'(3-2x)-(2x-1)(3-2x)’}{(3-2x)^2} =\frac{2(3-2x)-(2x-1)(-2)}{(3-2x)^2}.$$

Раскрываем скобки в числителе:

$$2(3-2x)=6-4x,\qquad (2x-1)(-2)=-4x+2.$$

Тогда

$$\text{числитель}= (6-4x)-(-4x+2)=6-4x+4x-2=4.$$

Итак,

$$f'(x)=\frac{4}{(3-2x)^2}.$$

Шаг 5. Подставим $a=\dfrac{1}{2}$ в производную

$$f’\!\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{\left(3-2\cdot \frac{1}{2}\right)^2} =\frac{4}{(3-1)^2}=\frac{4}{2^2}=\frac{4}{4}=1.$$

Шаг 6. Связь производной с углом наклона касательной

Угловой коэффициент касательной $k$ равен $f'(a)$ и является тангенсом угла наклона $\varphi$:

$$k=f'(a)=1\;\;\Rightarrow\;\; \tg\varphi=1.$$

Главное значение угла:

$$\varphi=\arctg 1=\frac{\pi}{4}=45^\circ.$$

Ответ (а): $\displaystyle \frac{\pi}{4}=45^\circ.$

б) $f(x) = \dfrac{x-1}{x-2}$, $a = 1$

Шаг 0. Область определения и проверка точки

Знаменатель не равен нулю:

$$x-2\neq 0 \;\;\Rightarrow\;\; x\neq 2.$$

Точка $a=1$ допустима.

Шаг 1. Обозначим числитель и знаменатель

$$u(x)=x-1,\qquad v(x)=x-2,\qquad f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.$$

Шаг 2. Формула производной частного

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-u\,v’}{v^2}, \quad v(x)\neq 0.$$

Шаг 3. Найдём $u'(x)$ и $v'(x)$

$$u'(x)=(x-1)’=1,\qquad v'(x)=(x-2)’=1.$$

Шаг 4. Найдём производную и упростим

$$f'(x)=\frac{(x-1)'(x-2)-(x-1)(x-2)’}{(x-2)^2} =\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2}.$$

Упростим числитель:

$$(x-2)-(x-1)=x-2-x+1=-1.$$

Следовательно,

$$f'(x)=\frac{-1}{(x-2)^2}.$$

Шаг 5. Подставим $a=1$

$$f'(1)=\frac{-1}{(1-2)^2}=\frac{-1}{(-1)^2}=\frac{-1}{1}=-1.$$

Шаг 6. Связь с углом наклона касательной

$$\tg\varphi=f'(a)=-1 \;\;\Rightarrow\;\; \varphi=\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}=-45^\circ.$$

Ответ (б): $\displaystyle -\frac{\pi}{4}=-45^\circ.$