ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = \sqrt{6x + 7}$ и $a = 3 \frac{1}{3}$;

б) $f(x) = \sqrt{5 — 2x}$ и $a = 2$

а) $f(x) = \sqrt{6x + 7}$ и $a = 3 \frac{1}{3}$;

$$f'(x) = (\sqrt{6x + 7})’ = \frac{6}{2\sqrt{6x + 7}} = \frac{3}{\sqrt{6x + 7}};$$ $$f'(a) = \frac{3}{\sqrt{6 \cdot 3 \frac{1}{3} + 7}} = \frac{3}{\sqrt{18 + 2 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$\tg \varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}, \text{отсюда } \varphi = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$.

б) $f(x) = \sqrt{5 — 2x}$ и $a = 2$;

$$f'(x) = (\sqrt{5 — 2x})’ = \frac{-2}{2\sqrt{5 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{5 — 2x}};$$ $$f'(a) = \frac{-1}{\sqrt{5 — 2 \cdot 2}} = -\frac{1}{\sqrt{5 — 4}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1;$$ $$\tg \varphi = -1, \text{отсюда } \varphi = -\arctg 1 = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$.

а) $f(x) = \sqrt{6x + 7}$, $a = 3 \dfrac{1}{3}$

Шаг 1. Представим функцию в виде степени

$$f(x) = \sqrt{6x + 7} = (6x + 7)^{1/2}$$

Шаг 2. Найдём производную функции

Применяем правило производной сложной функции:

$$f'(x) = \left((6x + 7)^{1/2}\right)’ = \frac{1}{2}(6x + 7)^{-1/2} \cdot (6x + 7)’$$

Внутренняя производная:

$$(6x + 7)’ = 6$$

Подставляем:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{6x + 7}} \cdot 6 = \frac{6}{2\sqrt{6x + 7}} = \frac{3}{\sqrt{6x + 7}}$$

Шаг 3. Подставим $a = 3 \dfrac{1}{3}$ в производную

Приводим к неправильной дроби:

$$a = 3 \dfrac{1}{3} = \frac{10}{3}$$

Вычислим подкоренное выражение:

$$6x + 7 = 6 \cdot \frac{10}{3} + 7 = 20 + 7 = 27$$

Теперь:

$$f’\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 4. Связь производной с углом наклона касательной

$$\tg \varphi = f'(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 5. Найдём угол по таблице значений арктангенса

$$\varphi = \arctg \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$$

Ответ (а):

$$\frac{\pi}{6} = 30^\circ$$

б) $f(x) = \sqrt{5 — 2x}$, $a = 2$

Шаг 1. Представим функцию в виде степени

$$f(x) = \sqrt{5 — 2x} = (5 — 2x)^{1/2}$$

Шаг 2. Найдём производную

Применим производную сложной функции:

$$f'(x) = \frac{1}{2}(5 — 2x)^{-1/2} \cdot (-2)$$

Упростим:

$$f'(x) = \frac{-2}{2\sqrt{5 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{5 — 2x}}$$

Шаг 3. Подставим $a = 2$

Считаем подкоренное выражение:

$$5 — 2 \cdot 2 = 5 — 4 = 1$$

Тогда:

$$f'(2) = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$$

Шаг 4. Связь производной с углом наклона касательной

$$\tg \varphi = f'(2) = -1$$

Шаг 5. Найдём угол

$$\varphi = \arctg(-1) = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ$$

Ответ (б):

$$-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$$