ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:

а) $f(x) = \sqrt{3} \cos \frac{x}{3}$ и $a = \frac{3\pi}{2}$;

б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x$ и $a = \frac{\pi}{2}$

а) $f(x) = \sqrt{3} \cos \frac{x}{3}$ и $a = \frac{3\pi}{2}$;

Пусть $u = \frac{x}{3}$, тогда $f(x) = \sqrt{3} \cos u$;

$$f'(x) = \sqrt{3} (\cos u)’ \cdot \left( \frac{x}{3} \right)’ = -\sqrt{3} \sin u \cdot \frac{1}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \sin \frac{x}{3};$$ $$f'(a) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sin \left( \frac{3\pi}{2 \cdot 3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3};$$ $$\tg \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{3}, \text{отсюда } \varphi = -\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\pi}{6} = -30^\circ;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} = -30^\circ$.

б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x$ и $a = \frac{\pi}{2}$;

Пусть $u = 2x$, тогда $f(x) = \frac{1}{2} \sin u$;

$$f'(x) = \frac{1}{2} (\sin u)’ \cdot (2x)’ = \frac{1}{2} \cos u \cdot 2 = \cos 2x;$$ $$f'(a) = \cos \frac{2\pi}{2} = \cos \pi = -1;$$ $$\tg \varphi = -1, \text{отсюда } \varphi = -\arctg 1 = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$.

а) $f(x) = \sqrt{3} \cos \left( \dfrac{x}{3} \right)$, $a = \dfrac{3\pi}{2}$

Шаг 1. Представим функцию как сложную

$$f(x) = \sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{x}{3}\right)$$

Это сложная функция, где внутренняя функция — $u(x) = \dfrac{x}{3}$, а внешняя — $\cos u$

Шаг 2. Используем правило производной сложной функции

$$f'(x) = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{dx} \left( \cos u \right ) = \sqrt{3} \cdot (-\sin u) \cdot u'(x)$$

Вычисляем производную внутренней функции:

$$u'(x) = \left( \frac{x}{3} \right)’ = \frac{1}{3}$$

Подставим:

$$f'(x) = -\sqrt{3} \cdot \sin\left( \frac{x}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sin \left( \frac{x}{3} \right)$$

Шаг 3. Найдём значение производной в точке $a = \dfrac{3\pi}{2}$

Подставим:

$$f’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sin\left( \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2} \right)$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \Rightarrow f’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 4. Угловой коэффициент касательной

$$\tg \varphi = f'(a) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 5. Находим угол по таблице значений

Значение $\tg \varphi = \frac{\sqrt{3}}{3}$ соответствует углу $\frac{\pi}{6}$, следовательно:

$$\varphi = -\arctg\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\frac{\pi}{6} = -30^\circ$$

Ответ (а):

$$-\frac{\pi}{6} = -30^\circ$$

б) $f(x) = \dfrac{1}{2} \sin 2x$, $a = \dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1. Представим как сложную функцию

Пусть:

$$u(x) = 2x, \quad f(x) = \frac{1}{2} \cdot \sin u$$

Шаг 2. Производная сложной функции

$$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (\sin u)’ \cdot u'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos u \cdot 2 = \cos u = \cos 2x$$

Шаг 3. Подставим значение $a = \dfrac{\pi}{2}$

$$f’\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos (2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos \pi = -1$$

Шаг 4. Угловой коэффициент касательной

$$\tg \varphi = f'(a) = -1$$

Шаг 5. Угол по таблице значений

$$\varphi = -\arctg 1 = -\frac{\pi}{4} = -45^\circ$$

Ответ (б):

$$-\frac{\pi}{4} = -45^\circ$$