ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 43.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите точки, в которых производная равна нулю и точки, в которых производная не существует, если график функции изображен на заданном рисунке:

a) рис. 92;

б) рис. 93;

в) рис. 94;

г) рис. 95.

Производная функции равна нулю в вершинах графика функции, производной не существует в точках излома графика;

а) Рисунок 92:

Производная равна нулю в точках с абсциссами: $x = 0$ и $x = 3,5$;

Производной не существует в точке с абсциссой: $x = -1$;

б) Рисунок 93:

Производная равна нулю в точках с абсциссами: $x = -4$ и $x = -1,5$;

Производной не существует в точке с абсциссой: $x = 4$;

в) Рисунок 94:

Производная равна нулю в точке с абсциссой: $x = -4$;

Производной не существует в точке с абсциссой: $x = -2$;

г) Рисунок 95:

Производная не равна нулю ни в каких точках;

Производная существует в любой точке.

Производная функции равна нулю в вершинах графика функции, производной не существует в точках излома графика.

Давайте подробно разберём, что означают эти утверждения, и как это применяется к указанным рисункам.

Теория:

Производная функции и вершины графика:

• Вершины графика функции — это точки, в которых функция достигает локального максимума или минимума. В этих точках касательная к графику функции горизонтальна.
• Производная функции в этих точках равна нулю, так как касательная имеет нулевой угловой коэффициент.
• То есть, если график функции имеет вершину в точке, то производная функции в этой точке будет равна нулю.

Производная и точки излома графика:

• Точки излома — это такие точки на графике функции, в которых график «ломается», и наклон графика резко меняется. В таких точках касательная линия не может быть проведена, и производная функции в этих точках не существует.
• Это могут быть, например, острые углы или вертикальные асимптоты, где график резко меняет своё направление, и производная не определена.

а) Рисунок 92:

Производная равна нулю в точках с абсциссами: $x = 0$ и $x = 3,5$:

• На графике функции в этих точках находятся вершины, то есть функция либо достигает локального максимума, либо локального минимума. В этих точках касательные к графику горизонтальны, и их угловой коэффициент равен нулю.
• Следовательно, в точках с абсциссами $x = 0$ и $x = 3,5$ производная функции равна нулю, что соответствует вершинам графика.

Производной не существует в точке с абсциссой: $x = -1$:

• В точке $x = -1$ на графике есть излом. Это может быть точка, в которой график резко меняет своё направление (например, переход от вертикальной прямой к другой кривой), и касательная линия не может быть проведена.
• В такой точке производная функции не существует, так как функция не гладкая, и нет определённого наклона касательной линии.

б) Рисунок 93:

Производная равна нулю в точках с абсциссами: $x = -4$ и $x = -1,5$:

• В точках $x = -4$ и $x = -1,5$ график функции достигает вершин (локальных максимумов или минимумов). В этих точках касательная линия горизонтальна, и производная равна нулю.
• Это указывает на то, что функция в этих точках изменяет своё направление на противоположное (от увеличения к уменьшению или наоборот).

Производной не существует в точке с абсциссой: $x = 4$:

• В точке $x = 4$ график функции имеет излом. Это может быть точка, где график резко меняет свою форму или направление (например, функция имеет вертикальную асимптоту или резкое изменение угла).
• В таких точках касательная линия не существует, и производная функции не определена.

в) Рисунок 94:

Производная равна нулю в точке с абсциссой: $x = -4$:

• В точке $x = -4$ график функции достигает вершины, и касательная линия горизонтальна. Это означает, что производная функции в этой точке равна нулю, так как угловой коэффициент касательной равен нулю.

Производной не существует в точке с абсциссой: $x = -2$:

• В точке $x = -2$ график имеет излом, что может быть причиной отсутствия производной в этой точке. Здесь график резко меняет направление, и касательная линия не может быть проведена, а значит, производная не существует.

г) Рисунок 95:

Производная не равна нулю ни в каких точках:

• На графике функции нет вершин (локальных максимумов или минимумов), а значит, в каждой точке графика функция либо возрастает, либо убывает. Угловой коэффициент касательной не равен нулю, так как график не имеет горизонтальных участков.

Производная существует в любой точке:

• График функции является гладким и непрерывным, без изломов, что означает, что производная существует в каждой точке. Это может быть гладкая линия (например, парабола или другая кривая), где можно провести касательную линию в каждой точке, и она будет иметь определённый угловой коэффициент.

Итоговое решение:

1. В точках с абсциссами $x = 0$, $x = 3,5$, $x = -4$, $x = -1,5$ производная функции равна нулю, так как в этих точках находятся вершины графика (локальные минимумы или максимумы).
2. В точках с абсциссами $x = -1$, $x = 4$, $x = -2$ производной не существует, так как в этих точках график имеет излом, и касательная не может быть проведена.
3. В точке $x = -4$ на рисунке 94 производная равна нулю, так как это вершина графика.
4. На рисунке 95 график функции гладкий и не имеет вершин, производная существует в любой точке и не равна нулю в какой-либо точке.

Ответы на вопросы:

• Вершины графика функции — это точки, где производная равна нулю.
• В точках излома графика функции производная не существует.